Se C é uma curva fechada simples suave por partes e f e g são funções diferenciáveis, então
, verdadeiro ou falso?
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre integrais de linha, que faz parte do cálculo vetorial. A questão diz que temos uma curva fechada, suave e simples chamada $ C $, e duas funções diferenciáveis $ f $ e $ g $. A pergunta é se a integral de $ f(x) dx + g(y) dy $ ao longo dessa curva sempre dá zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais de linha e quando elas são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Imagine que você tem um campo vetorial, que nesse caso é $ \mathbf{F} = (f(x), g(y)) $. A integral de linha $ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ calcula o “trabalho” que esse campo faz ao longo da curva $ C $. No nosso caso, isso se traduz em $ \oint_C f(x) dx + g(y) dy $.
Passo 3
Agora, para saber se essa integral é sempre zero, precisamos ver se o campo vetorial $ \mathbf{F} $ é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial $ \phi $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla \phi $. Para isso acontecer em duas dimensões, as derivadas cruzadas de $ f $ e $ g $ devem satisfazer a condição:
Passo 4
No enunciado, só sabemos que $ f $ e $ g $ são diferenciáveis, mas nada mais. Isso significa que não sabemos se $ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x} $. Sem essa igualdade, o campo $ \mathbf{F} $ não é necessariamente conservativo, e a integral de linha pode não ser zero.
Passo 5
Além disso, se a curva $ C $ for fechada e o campo não for conservativo, a integral de linha pode representar algo como o fluxo do campo através da curva, que pode ser diferente de zero dependendo de $ f $ e $ g $.
Resposta
Falso. A integral $ \oint_C f(x) dx + g(y) dy $ nem sempre é igual a zero.