Calcule:
partialpartial theta(r^2 cos theta+e^theta r)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada parcial juntos! O enunciado pede para calcular a derivada parcial de r^2 cos theta + e^theta r em relação a theta . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação para funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas partes da expressão que vamos derivar:
  1. r^2 cos theta
  2. e^theta r
Vamos derivar cada uma separadamente em relação a theta .

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: r^2 cos theta .
Aqui, r é considerado uma constante em relação a theta . A derivada de cos theta em relação a theta é -sin theta . Então, aplicando a regra da constante multiplicada:
partialpartial theta ( r^2 cos theta ) = r^2 cdot (-sin theta) = -r^2 sin theta

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda parte: e^theta r .
Aqui, temos uma função exponencial cuja base é e e o expoente é theta r . A derivada de e^u em relação a u é e^u , e precisamos multiplicar pela derivada do expoente u em relação a theta .
Então, seja u = theta r , então dudtheta = r .
Aplicando a regra da cadeia:
partialpartial theta ( e^theta r ) = e^theta r cdot r = r e^theta r

Passo 5

Agora, juntamos as duas derivadas que calculamos:
partialpartial theta(r^2 cos theta + e^theta r) = -r^2 sin theta + r e^theta r

Resposta

A derivada parcial é -r^2 sin theta + r e^theta r .

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