Calcule partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y partial x, partial^2 fpartial x partial y e partial^2 fpartial y^2 para f(x, y)=sin x^2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as segundas derivadas parciais de uma função f(x, y) = sin(x^2 y) . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto. Não se preocupa se alguns termos parecerem complicados, eu vou explicar tudinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É como se a gente derivasse a função em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial em relação a x , que denotaremos por partial fpartial x .
A função é f(x, y) = sin(x^2 y) . Para derivar isso em relação a x , usamos a regra da cadeia. A derivada de sin(u) em relação a u é cos(u) , e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a x .
Então, temos:
partial fpartial x = cos(x^2 y) cdot partialpartial x(x^2 y)
Como y é uma constante em relação a x :
partialpartial x(x^2 y) = 2x y
Portanto:
partial fpartial x = 2x y cos(x^2 y)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Usando a mesma lógica da regra da cadeia:
partial fpartial y = cos(x^2 y) cdot partialpartial y(x^2 y)
Aqui, x^2 é constante em relação a y :
partialpartial y(x^2 y) = x^2
Então:
partial fpartial y = x^2 cos(x^2 y)

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial partial^2 fpartial x^2. Isso significa derivar partial fpartial x novamente em relação a x .
Temos:
partial fpartial x = 2x y cos(x^2 y)
Aplicamos a regra do produto:
partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(2x y) cdot cos(x^2 y) + 2x y cdot partialpartial x(cos(x^2 y))
Calculando cada parte:
partialpartial x(2x y) = 2y
E para a segunda parte, usamos a regra da cadeia novamente:
partialpartial x(cos(x^2 y)) = -sin(x^2 y) cdot 2x y
Então:
partial^2 fpartial x^2 = 2y cos(x^2 y) - 4x^2 y^2 sin(x^2 y)

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista partial^2 fpartial y partial x. Primeiro derivamos em relação a x , que já fizemos no Passo 2, e depois derivamos esse resultado em relação a y .
Começamos com:
partial fpartial x = 2x y cos(x^2 y)
Derivando em relação a y :
partial^2 fpartial y partial x = 2x cos(x^2 y) + 2x y cdot partialpartial y(cos(x^2 y))
Usando a regra da cadeia para a segunda parte:
partialpartial y(cos(x^2 y)) = -sin(x^2 y) cdot x^2
Então:
partial^2 fpartial y partial x = 2x cos(x^2 y) - 2x^3 y sin(x^2 y)

Passo 6

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial mista partial^2 fpartial x partial y. Por propriedades das derivadas parciais contínuas, sabemos que partial^2 fpartial y partial x = partial^2 fpartial x partial y, então já temos esse valor:
partial^2 fpartial x partial y = 2x cos(x^2 y) - 2x^3 y sin(x^2 y)

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a y , ou seja, partial^2 fpartial y^2.
Começamos com:
partial fpartial y = x^2 cos(x^2 y)
Derivando novamente em relação a y :
partial^2 fpartial y^2 = x^2 cdot partialpartial y(cos(x^2 y))
Usamos a regra da cadeia:
partialpartial y(cos(x^2 y)) = -sin(x^2 y) cdot x^2
Portanto:
partial^2 fpartial y^2 = -x^4 sin(x^2 y)

Resposta

As segundas derivadas parciais de f(x, y) = sin(x^2 y) são:
partial^2 fpartial x^2 = 2y cos(x^2 y) - 4x^2 y^2 sin(x^2 y)
partial^2 fpartial y partial x = partial^2 fpartial x partial y = 2x cos(x^2 y) - 2x^3 y sin(x^2 y)
partial^2 fpartial y^2 = -x^4 sin(x^2 y)

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