Calcule
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as segundas derivadas parciais de uma função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto. Não se preocupa se alguns termos parecerem complicados, eu vou explicar tudinho passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É como se a gente derivasse a função em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial em relação a
, que denotaremos por
.
A função é
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Então, temos:
Como
é uma constante em relação a
:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Usando a mesma lógica da regra da cadeia:
Aqui,
é constante em relação a
:
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial
. Isso significa derivar
novamente em relação a
.
Temos:
Aplicamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
E para a segunda parte, usamos a regra da cadeia novamente:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista
. Primeiro derivamos em relação a
, que já fizemos no Passo 2, e depois derivamos esse resultado em relação a
.
Começamos com:
Derivando em relação a
:
Usando a regra da cadeia para a segunda parte:
Então:
Passo 6
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial mista
. Por propriedades das derivadas parciais contínuas, sabemos que
, então já temos esse valor:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Começamos com:
Derivando novamente em relação a
:
Usamos a regra da cadeia:
Portanto:
Resposta
As segundas derivadas parciais de
são: