Se C é uma curva com kappa>0, representada por r(t) onde t é um parâmetro qualquer, é possível obter a curvatura e a torção a partir das expressões
kappa(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 e tau(t)=(r^prime(t) times r^prime prime(t)) cdot r^prime prime prime(t)|r^prime(t) times r^prime prime(t)|^2
(a) Calcule a curvatura e a torção da curva r(t)=t i+t^2 j+t^3 k. (b) Calcule a curvatura e a torção da curva anterior para t=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura e a torção da curva espaço r(t)=t,i+t^2,j+t^3,k, usando as fórmulas em que precisamos das derivadas primeiras, segundas e terceiras de r(t). O conteúdo é geometria de curvas em R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos obter as derivadas de r(t), pois as fórmulas de kappa(t) e tau(t) dependem de r'(t), r''(t) e r'''(t).
Calculamos:
r'(t)=(1,,2t,,3t^2),
r''(t)=(0,,2,,6t),
r'''(t)=(0,,0,,6)

Passo 3

O próximo passo é o produto vetorial r'(t)timesr''(t) e sua norma, pois entram em ambas as fórmulas.
Fazendo o determinante,
r'(t)timesr''(t)=l(6t^2,,-6t,,2r),
e
|r'(t)timesr''(t)|=raiz(6t^2)^2+(-6t)^2+2^2=raiz36t^4+36t^2+4

Passo 4

Para a curvatura usamos
kappa(t)=|r'(t)timesr''(t)||r'(t)|^3

Passo 5

Calculamos também |r'(t)|=raiz1+4t^2+9t^4. Logo,
kappa(t)=raiz36t^4+36t^2+4l(1+4t^2+9t^4r)^3/2=2raiz9t^4+9t^2+1l(1+4t^2+9t^4r)^3/2

Passo 6

Para a torção usamos
tau(t)=(r'timesr'')cdotr'''|r'timesr''|^2

Passo 7

O numerador é
(6t^2,,-6t,,2)cdot(0,0,6)=12
e o denominador é
|r'timesr''|^2=36t^4+36t^2+4=4(9t^4+9t^2+1)

Passo 8

Assim
tau(t)=1236t^4+36t^2+4=39t^4+9t^2+1

Passo 9

Agora avaliamos em t=1: primeiro
kappa(1)=raiz36+36+4(1+4+9)^3/2=raiz7614raiz14=raiz197raiz14
E
tau(1)=39+9+1=319

Resposta

kappa(t)=dfrac2raiz9t^4+9t^2+1l(1+4t^2+9t^4r)^3/2 , tau(t)=dfrac39t^4+9t^2+1 ; para t=1: kappa(1)=dfracraiz197raiz14 e tau(1)=dfrac319.

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