Obtenha a Transformada de Laplace Inversa abaixo.

Dica: Use completamento de quadrado no denominador e o Teorema do deslocamento complexo visto em sala.

Passo 1

O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de 3s+2s^2-2s+5. Vamos usar completamento de quadrado no denominador e o teorema do deslocamento complexo junto às fórmulas padrões de L^-1.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
s^2-2s+5=(s-1)^2+4

Passo 3

Em seguida, decompondo o numerador em função de s-1:
3s+2=3(s-1)+5

Passo 4

Assim, dividimos a fração em dois termos que se encaixam em fórmulas conhecidas:
3s+2s^2-2s+5=3(s-1)(s-1)^2+2^2+5(s-1)^2+2^2

Passo 5

Agora aplicamos as transformadas inversas padrão:
— Para s-a(s-a)^2+b^2, L^-1dots=e^atcos(bt).
— Para b(s-a)^2+b^2, L^-1dots=e^atsin(bt).

Passo 6

Logo,
L^-1l3(s-1)(s-1)^2+2^2r=3e^tcos(2t),
L^-1l5(s-1)^2+2^2r=52e^tsin(2t)

Resposta

e^tl(3cos(2t)+tfrac52sin(2t)r)

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