Se é a curva em dada pela interseção do cilindro com o plano (e orientação no sentido anti-horário para quem vê de cima do plano), então
é igual a
(A) .
(B) .
(C) .
(D) 0 .
(E) -2 .
(F) outro valor.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral de linha da campo de vetores ao longo da curva definida pela interseção do cilindro com o plano . A orientação é anti-horária vista de cima, o que coincide com a orientação positiva (sentido de Green/Stokes) para a normal . Vamos usar o Teorema de Stokes, já que isso transforma o integral de linha num integral de superfície sobre o disco em .
Passo 2
Segundo o Teorema de Stokes,
onde é o disco em e compatível com a orientação dada.
Passo 3
Calculamos o rotacional
Isso dá
Passo 4
Na superfície temos
e portanto
(nablatimes F)cdot n =2
Passo 5
O integral de superfície torna-se
integral duplaS2,dS =2cdotl(área do disco de raio 1r) =2cdotpicdot1^2 =2pi á
Resposta
A integral vale 2pi, que não está entre as alternativas listadas, logo a resposta correta é a opção (F) outro valor.