Se C é a curva em R^3 dada pela interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=3 (e orientação no sentido anti-horário para quem vê de cima do plano), então
integralC(-y, x, x y z) cdot d r
é igual a
(A) -2 pi.
(B) -pi.
(C) pi.
(D) 0 .
(E) -2 .
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha da campo de vetores F(x,y,z)=(-y,;x,;xyz) ao longo da curva C definida pela interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=3. A orientação é anti-horária vista de cima, o que coincide com a orientação positiva (sentido de Green/Stokes) para a normal n=(0,0,1). Vamos usar o Teorema de Stokes, já que isso transforma o integral de linha num integral de superfície sobre o disco x^2+y^2<=1 em z=3.

Passo 2

Segundo o Teorema de Stokes,
ointC Fcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS,
onde S é o disco x^2+y^2<=1 em z=3 e n=(0,0,1) compatível com a orientação dada.

Passo 3

Calculamos o rotacional
nablatimes F =l(partialpartial y(xyz)-partialpartial z(x),; partialpartial z(-y)-partialpartial x(xyz),; partialpartial x(x)-partialpartial y(-y)r)
Isso dá
nablatimes F=(xz,;-yz,;2)

Passo 4

Na superfície z=3 temos
nablatimes F|z=3=(3x,;-3y,;2),
e portanto
(nablatimes F)cdot n =2

Passo 5

O integral de superfície torna-se
integral duplaS2,dS =2cdotl(área do disco de raio 1r) =2cdotpicdot1^2 =2pi á

Resposta

A integral vale 2pi, que não está entre as alternativas listadas, logo a resposta correta é a opção (F) outro valor.

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