Se R é a região de R^3 delimitada pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo plano z=1, então
integral triplaR 3 z^2 d V
é igual a
(A) pi4.
(B) 3 pi5.
(C) pi.
(D) 3 pi2.
(E) 2 pi5.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
integral triplaR3z^2,dV
onde R é a região em R^3 limitada pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo plano z=1. Vamos usar coordenadas cilíndricas para aproveitar a simetria do cone.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definidas por
;x=rcostheta,;y=rsintheta,;z=z,
o jacobiano do volume é r. O cone z=raizx^2+y^2 fica z=r. Como a região está entre esse cone e o plano z=1, os limites são
0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= 1, 0 <= r <= z

Passo 3

O elemento de volume é dV=r,dr,dz,dtheta, logo a integral vira
integral0^2piintegral0^1integral0^z3z^2,r,dr,dz,dtheta
Integramos primeiro em r:
integral0^zr,dr=z^22
Substituindo, sobra
integral0^2piintegral0^132z^4,dz,dtheta

Passo 4

Agora integramos em z e em theta:
integral0^1z^4,dz=15,
integral0^2pidtheta=2pi
Multiplicando tudo, obtemos
32times15times2pi=3pi5

Resposta

(B) 3pi5

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