Se R é a região de R^2 delimitada pelas curvas y=0, x=1 e y=x^2, então
integral duplaR(2 x y-3) d A
é igual a
(A) -45.
(B) -34.
(C) -176.
(D) -56.
(E) -2 .
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(2 x y-3),dA
onde RsubsetR^2 é a região limitada por y=0, y=x^2 e x=1.
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para escrever essa integral como iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, descrevemos R projetando no eixo x. As curvas y=0 e y=x^2 se interceptam em x=0 e em x=1. Logo
0 <= x <= 1, 0 <= y <= x^2

Passo 3

Pela Fubini,
integral duplaR(2 x y-3),dA = integral0^1l(integral0^x^2(2 x y-3),dyr)dx
Dentro, calculemos
integral0^x^22 x y,dy = 2xintegral0^x^2y,dy = 2xcdot(x^2)^22 = x^5,
integral0^x^2(-3),dy = -3,y|0^x^2 = -3x^2
Somando, a integral interna é
x^5-3x^2

Passo 4

Agora integramos em x:
integral0^1(x^5-3x^2),dx = [x^66-x^3]0^1 = 16-1 = -56

Resposta

-56 (alternativa D)

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