No sistema massa-mola forçado m x^prime prime+k x= k h0 sin (omega t)+l k, relacione as constantes C1 e C2 da solução geral com as condições iniciais x(0)=x0 e x^prime(0)=v0, em ambos os casos omega^2 neq k / m e omega^2=k / m.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa–mola forçado
m,x'' + k,x = k,h0sin(omega t) + k,l
com condições iniciais x(0)=x0, x'(0)=v0.
Conteúdo: EDO linear de 2ª ordem com parte homogênea e particular.
Objetivo: achar a solução geral x(t)=xh(t)+xp(t) e relacionar as constantes C1,C2 às condições iniciais, nos casos
  1. omega^2neq k/m (não–ressonante)
  2. omega^2=k/m (ressonante)

Passo 2

Resolvendo a homogênea
m,x'' + k,x = 0
definimos omega0=raiztfrackm. A solução é
xh(t)=C1cos(omega0t)+C2sin(omega0t)

Passo 3

Caso omega^2neq omega0^2. Procuramos particular da forma
xp(t)=l+alphasin(omega t)
Substituindo em m,x''+k,x equaciona-se o termo sin(omega t) e obtemos
alpha=k,h0,k-m,omega^2,,
Logo
x(t)=C1cos(omega0t)+C2sin(omega0t) +;l;+;k,h0k-m,omega^2;sin(omega t)
Aplicando x(0)=x0 e x'(0)=v0:
x(0)=C1+l=x0 Longrightarrow C1=x0-l,
x'(t)=-C1,omega0sin(omega0t)+C2,omega0cos(omega0t) +k,h0,omegak-m,omega^2cos(omega t),
em t=0
v0=C2,omega0+k,h0,omegak-m,omega^2 Longrightarrow C2 =,v0-k,h0,omegak-m,omega^2,omega0

Passo 4

Caso omega^2=omega0^2 (ressonância). O termo sin(omega t) coincide com o homogêneo, então usamos ansatz
xp(t)=l + A,tcos(omega t)
Substituindo em m,x''+k,x e igualando ao termo forçante ,k,h0sin(omega t), obtém-se
A=-omega,h02
Portanto
x(t)=C1cos(omega t)+C2sin(omega t) +l;-;omega,h02,tcos(omega t)
Aplicando x(0)=x0 e x'(0)=v0:
x(0)=C1+l=x0 Longrightarrow C1=x0-l,
x'(t)=-C1,omegasin(omega t)+C2,omegacos(omega t) -omega,h02l(cos(omega t)-omega tsin(omega t)r),
em t=0
v0=C2,omega - omega,h02 Longrightarrow C2 =,v0+omega,h02,omega

Resposta

Caso omega^2neq tfrackm:
C1=x0-l, C2 =,v0-k,h0,omegak-m,omega^2, raiztfrackm,
Caso omega^2=tfrackm:
C1=x0-l, C2 =,v0+omega,h02,omega,

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