Para todo inteiro positivo
, vale
Passo 1
O enunciado diz que, para todo inteiro positivo
, vale
O que temos e o que se pede:
- Dados:
e são inteiros (assume-se inteiros positivos ou não nulos quando conveniente) e é um inteiro positivo. - Pedido: demonstrar a igualdade
para todo .
Passo 2
Vou usar a fatoração em primos e a noção dos expoentes das primas em um número. Lembra da Teoria Fundamental da Aritmética: todo inteiro positivo
pode ser escrito de maneira única (até ordem) como produto de potências de primos:
Aqui
significa o expoente de
na fatoração de
— por exemplo, se
então
e
,
,
, e
para os outros primos
.
Uma propriedade útil é que o máximo divisor comum tem, para cada primo
, expoente igual ao mínimo dos expoentes:
Vou usar essa descrição pelo expoente de cada primo para provar a igualdade pedida.
Passo 3
Tomemos um primo
arbitrário. Calculo os expoentes de
em
e em
. Pelas regras de expoentes na multiplicação,
Portanto, o expoente de
no máximo divisor comum
é
Passo 4
Como
é um número inteiro fixo (dependente só de
), podemos tirar
como soma do mínimo:
Mas
. Logo
Passo 5
A igualdade dos expoentes para todo primo
traduz-se, pela fatoração única, na igualdade dos inteiros:
Mas
e
. Portanto
Passo 6
Exemplo rápido para fixar: tome
,
,
. Então
e
. De fato
. Isso ilustra a fórmula.