Para todo inteiro positivo t, vale
m d c(t a, t b)=t m d c(a, b) .

Passo 1

O enunciado diz que, para todo inteiro positivo t, vale
\gcd(t a, t b)=t\gcd(a,b).
O que temos e o que se pede:
  • Dados: a e b são inteiros (assume-se inteiros positivos ou não nulos quando conveniente) e t é um inteiro positivo.
  • Pedido: demonstrar a igualdade \gcd(t a, t b)=t\gcd(a,b) para todo t\in\mathbb{Z}_{>0}.

Passo 2

Vou usar a fatoração em primos e a noção dos expoentes das primas em um número. Lembra da Teoria Fundamental da Aritmética: todo inteiro positivo n pode ser escrito de maneira única (até ordem) como produto de potências de primos:
n=\prod_{p\\ \text{primo}} p^{v_p(n)}.
Aqui v_p(n) significa o expoente de p na fatoração de n — por exemplo, se n=60 então 60=2^2\cdot3^1\cdot5^1 e v_2(60)=2, v_3(60)=1, v_5(60)=1, e v_p(60)=0 para os outros primos p.
Uma propriedade útil é que o máximo divisor comum tem, para cada primo p, expoente igual ao mínimo dos expoentes:
v_p\big(\gcd(x,y)\big)=\min\big(v_p(x),\,v_p(y)\big).
Vou usar essa descrição pelo expoente de cada primo para provar a igualdade pedida.

Passo 3

Tomemos um primo p arbitrário. Calculo os expoentes de p em t a e em t b. Pelas regras de expoentes na multiplicação,
v_p(t a)=v_p(t)+v_p(a), \qquad v_p(t b)=v_p(t)+v_p(b).
Portanto, o expoente de p no máximo divisor comum \gcd(t a,t b) é
v_p\big(\gcd(t a,t b)\big) =\min\big(v_p(t a),\,v_p(t b)\big) =\min\big(v_p(t)+v_p(a),\,v_p(t)+v_p(b)\big).

Passo 4

Como v_p(t) é um número inteiro fixo (dependente só de t), podemos tirar v_p(t) como soma do mínimo:
\min\big(v_p(t)+v_p(a),\,v_p(t)+v_p(b)\big) = v_p(t) + \min\big(v_p(a),\,v_p(b)\big).
Mas \min\big(v_p(a),v_p(b)\big)=v_p\big(\gcd(a,b)\big). Logo
v_p\big(\gcd(t a,t b)\big)=v_p(t)+v_p\big(\gcd(a,b)\big).

Passo 5

A igualdade dos expoentes para todo primo p traduz-se, pela fatoração única, na igualdade dos inteiros:
\gcd(t a,t b)=\left(\prod_{p} p^{v_p(t)}\right)\left(\prod_{p} p^{v_p(\gcd(a,b))}\right).
Mas \prod_{p} p^{v_p(t)}=t e \prod_{p} p^{v_p(\gcd(a,b))}=\gcd(a,b). Portanto
\gcd(t a,t b)=t\cdot\gcd(a,b).

Passo 6

Exemplo rápido para fixar: tome a=12, b=18, t=5. Então \gcd(12,18)=6 e t\gcd(a,b)=5\cdot6=30. De fato \gcd(60,90)=30. Isso ilustra a fórmula.

Resposta

\gcd(t a, t b)=t\gcd(a,b)

Exercícios relacionados