Se (a, b)=d, então
m d c\left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)=1

Passo 1

O enunciado e o que se pede (resumido e claro):
  • Foi dado que \operatorname{mdc}(a,b)=d. Ou seja, d é o máximo divisor comum de a e b.
  • Quero mostrar que \operatorname{mdc}\!\left(\dfrac{a}{d},\dfrac{b}{d}\right)=1. Em palavras: ao dividir a e b pelo seu máximo divisor comum d, os quocientes ficam primos entre si (coprimos).

Passo 2

Lembrando as definições básicas (explicadinha, sem pressa):
  • Dizemos que um inteiro x divide um inteiro y (escrevemos x\mid y) se existe um inteiro k tal que y=xk.
  • O número \operatorname{mdc}(a,b) é, por definição, um inteiro positivo d tal que:
    1. d\mid a e d\mid b (ou seja, d é um divisor comum);
    2. se c é qualquer outro inteiro que divide simultaneamente a e b, então c\mid d (ou seja, d é o maior entre os divisores comuns, no sentido divisibilidade).
  • Vamos usar essas propriedades de forma direta e algebraica.

Passo 3

Do fato \operatorname{mdc}(a,b)=d temos, em particular, que d\mid a e d\mid b. Assim podemos escrever
a=d\cdot a_1,\qquad b=d\cdot b_1
para alguns inteiros a_1 e b_1. Note que a_1=\dfrac{a}{d} e b_1=\dfrac{b}{d}. A afirmação a provar é exatamente
\operatorname{mdc}(a_1,b_1)=1.

Passo 4

Defina g=\operatorname{mdc}(a_1,b_1). Pelo que é mdc, g é um inteiro positivo que divide a_1 e divide b_1. Logo existem inteiros u e v tais que
a_1 = g u,\qquad b_1 = g v.

Passo 5

Multiplicando as igualdades do passo anterior por d obtemos
a = d a_1 = d (g u) = (d g) u, \qquad b = d b_1 = d (g v) = (d g) v.
Isto mostra que d g divide a e também divide b. Em notação: (d g)\mid a e (d g)\mid b.

Passo 6

Pelo fato de d=\operatorname{mdc}(a,b) ser o maior divisor comum de a e b, qualquer divisor comum de a e b deve dividir d. Em particular, d g divide d. Assim existe um inteiro k tal que
d = (d g)\,k.
Dividindo ambos os lados por d (lembre que d>0) obtém-se
1 = g\,k.
Como g e k são inteiros positivos, a única possibilidade é g=1 (e k=1).

Passo 7

Portanto \operatorname{mdc}(a_1,b_1)=g=1. Ou seja, os quocientes a_1=\dfrac{a}{d} e b_1=\dfrac{b}{d} são coprimos.

Passo 8

Por exemplo, se a=12 e b=18 então \operatorname{mdc}(12,18)=6. Dividindo por d=6 obtemos a_1=2 e b_1=3; de fato \operatorname{mdc}(2,3)=1. Isso é exatamente o que a prova garante em geral.

Resposta

\operatorname{mdc}\!\left(\dfrac{a}{d},\dfrac{b}{d}\right)=1

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