Se
, então
Passo 1
O enunciado e o que se pede (resumido e claro):
- Foi dado que
. Ou seja, é o máximo divisor comum de e . - Quero mostrar que
. Em palavras: ao dividir e pelo seu máximo divisor comum , os quocientes ficam primos entre si (coprimos).
Passo 2
Lembrando as definições básicas (explicadinha, sem pressa):
- Dizemos que um inteiro
divide um inteiro (escrevemos ) se existe um inteiro tal que . - O número
é, por definição, um inteiro positivo tal que: -
e (ou seja, é um divisor comum); - se
é qualquer outro inteiro que divide simultaneamente e , então (ou seja, é o maior entre os divisores comuns, no sentido divisibilidade).
-
- Vamos usar essas propriedades de forma direta e algebraica.
Passo 3
Do fato
temos, em particular, que
e
. Assim podemos escrever
para alguns inteiros
e
. Note que
e
. A afirmação a provar é exatamente
Passo 4
Defina
. Pelo que é mdc,
é um inteiro positivo que divide
e divide
. Logo existem inteiros
e
tais que
Passo 5
Multiplicando as igualdades do passo anterior por
obtemos
Isto mostra que
divide
e também divide
. Em notação:
e
.
Passo 6
Pelo fato de
ser o maior divisor comum de
e
, qualquer divisor comum de
e
deve dividir
. Em particular,
divide
. Assim existe um inteiro
tal que
Dividindo ambos os lados por
(lembre que
) obtém-se
Como
e
são inteiros positivos, a única possibilidade é
(e
).
Passo 7
Portanto
. Ou seja, os quocientes
e
são coprimos.
Passo 8
Por exemplo, se
e
então
. Dividindo por
obtemos
e
; de fato
. Isso é exatamente o que a prova garante em geral.