(c) Encontre f^(n)(x) se f(x)=a0+a1+a2 x^2+cdots+an x^n

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n de uma função polinomial
f(x)=a0+a1x+a2x^2+cdots+anx^n
O conteúdo é derivação de polinômios e vamos usar a regra de derivação sucessiva de um monômio.

Passo 2

Sabemos que
ddxl[x^kr]=k,x^k-1
Aplicando esta regra n vezes, obtemos a derivada de ordem n de x^k:
d^ndx^nl[x^kr]= k,(k-1)cdots(k-n+1),x^,k-n,&k>= n, 0,&k<n

Passo 3

No polinômio, cada termo akx^k gera na derivada de ordem n
ak,d^ndx^nl[x^kr] = ak, dfrack!(k-n)!,x^,k-n,&k>= n, 0,&k<n

Passo 4

Somando para k=0,1,dots,n, só o termo com k=n é não nulo. Logo
f^(n)(x) = an,n!(n-n)!,x^,n-n = an,n!,x^0 = n!,an

Resposta

f^(n)(x)=n!,an

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