Se c \in \mathbb{R}^{n} é constante, mostre que a função dada por f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=c \cdot x, é contínua.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} definida por
f(x)=c\cdot x
é contínua, onde c\in\mathbb{R}^n é um vetor fixo (constante). Vou listar claramente o que tenho e o que preciso provar:
Informações dadas:
c\in\mathbb{R}^n é fixo.
A função é f(x)=c\cdot x, onde c\cdot x é o produto escalar usual em \mathbb{R}^n.
O que se pede:
Provar que f é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^n. Em termos \varepsilon-\delta: para todo ponto x_0\in\mathbb{R}^n e para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que \|x-x_0\|<\delta, então |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
Passo 2
Primeiro, vou lembrar (e definir) as notações que vou usar, explicando cada coisa com calma:
Produto escalar: para a=(a_1,\dots,a_n) e b=(b_1,\dots,b_n) em \mathbb{R}^n,
a\cdot b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i.
É um número real.
Norma (comprimento) de um vetor: para a\in\mathbb{R}^n,
Essas definições são padrão e vou usá-las para controlar a diferença f(x)-f(y).
Passo 3
Vou usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz, que é a ferramenta chave aqui. Primeiro explico e demonstro rapidamente essa desigualdade, passo a passo (não suponho que já saiba).
A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que, para quaisquer a,b\in\mathbb{R}^n,
|(a\cdot b)| \le \|a\|\,\|b\|.
Prova (clara e curta): considere, para qualquer escalar t\in\mathbb{R}, o quadrado da norma
\|a - t b\|^2 \ge 0.
Expandindo esse quadrado pelo produto escalar:
\|a - t b\|^2 = (a - t b)\cdot(a - t b) = \|a\|^2 - 2t(a\cdot b) + t^2\|b\|^2.
Isso é um polinômio quadrático em t que é sempre não negativo. Logo, o discriminante desse polinômio não pode ser positivo:
Tomando raiz positiva em ambos os lados chegamos a
|(a\cdot b)| \le \|a\|\,\|b\|,
que é exatamente Cauchy–Schwarz. Fim da prova.
Passo 4
Agora aplico Cauchy–Schwarz ao nosso caso. Tome quaisquer x,y\in\mathbb{R}^n. Então
|f(x)-f(y)| = |c\cdot x - c\cdot y| = |c\cdot(x-y)|.
Pelo passo anterior,
|c\cdot(x-y)| \le \|c\|\,\|x-y\|.
Essa desigualdade é muito útil: ela mostra que a variação de f entre x e y é controlada pela distância \|x-y\|, com fator \|c\| na frente. Em outras palavras, f é Lipschitz com constante de Lipschitz \|c\|.
Passo 5
Faço agora o argumento \varepsilon-\delta usando a desigualdade anterior. Seja um ponto arbitrário x_0\in\mathbb{R}^n e dado \varepsilon>0. Quero escolher \delta>0 tal que \|x-x_0\|<\delta implique |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
Caso c\neq 0: escolha
\delta = \frac{\varepsilon}{\|c\|}.
Então, se \|x-x_0\|<\delta, usando a desigualdade do passo 4,
Caso c=0: então f(x)=0 para todo x, ou seja, f é a função constante zero. Para qualquer \varepsilon>0 qualquer \delta>0 funciona, porque |f(x)-f(x_0)|=0<\varepsilon. Logo f é contínua também nesse caso.
Ambos os casos mostram que, para todo x_0 e todo \varepsilon>0, existe \delta>0 com a propriedade desejada. Portanto f é contínua em x_0. Como x_0 foi arbitrário, f é contínua em todo \mathbb{R}^n.
Observação rápida (útil para prova e para a prova na prova): a desigualdade
|f(x)-f(y)| \le \|c\|\,\|x-y\|
mostra ainda que f é uniformemente contínua e Lipschitz (constante de Lipschitz \|c\|).
Resposta
A função f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} dada por f(x)=c\cdot x é contínua em todo \mathbb{R}^n.