Se c in V c , mostre que a funçăo f dada por f(x)=c cdot x é continua em R^*.

Passo 1

O enunciado afirma que, dado um vetor fixo cinR^n, definimos a função
f:R^ntoR, f(x)=ccdotx
Queremos mostrar que f é contínua em todo R^n. Para isso vamos usar a definição de continuidade (epsilon-delta) e a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 2

Sejam x,yinR^n. Então
|f(x)-f(y)| =|ccdotx-ccdoty| =|ccdot(x-y)|
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
|ccdot(x-y)| <= |c|;|x-y|

Passo 3

Agora aplicamos a definição de continuidade em um ponto arbitrário ainR^n. Dado varepsilon>0, se cneq0 escolhemos
de<a = varepsilon|c|,
e se c=0 então f é a função constante zero e já é contínua sem precisar de delta.

Passo 4

Suponha cneq0 e considere xinR^n tal que
|x-a|<de<a. Então
|f(x)-f(a)| <= |c|;|x-a| < |c|;de<a = |c|;varepsilon|c| = varepsilon
Isso prova a continuidade de f no ponto a.

Resposta

A função f(x)=ccdotx é contínua em todo R^n.

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