Se
, mostre que a funçăo
dada por
é continua em
.
Passo 1
O enunciado afirma que, dado um vetor fixo
, definimos a função
Queremos mostrar que
é contínua em todo
. Para isso vamos usar a definição de continuidade (epsilon-delta) e a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Passo 2
Sejam
. Então
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
Passo 3
Agora aplicamos a definição de continuidade em um ponto arbitrário
. Dado
, se
escolhemos
e se
então
é a função constante zero e já é contínua sem precisar de delta.
Passo 4
Suponha
e considere
tal que
. Então
Isso prova a continuidade de
no ponto
.
Resposta
A função
é contínua em todo
.