Resolva as equações diferenciais.
(sin ^2 x-y) d x-tan x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(sin^2 x - y),dx ;-;tan x,dy = 0
Esse é um EDO de primeira ordem que podemos reescrever na forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x),
para depois aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo a equação isolando tfracdydx:
(sin^2 x - y),dx = tan x,dy Longrightarrow dydx = sin^2 x - ytan x
Como tan x = tfracsin xcos x, temos
dydx = sin^2 x - ysin xcos x = cos x,sin^2 x - ysin x = cos x,sin x ;-; y,cot x
Portanto a equação fica
dydx + ycot x = sin xcos x,
onde P(x)=cot x e Q(x)=sin xcos x.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral cot x,dxr) = exp!l(ln|sin x|r) = sin x

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=sin x, obtemos
sin x,dydx + y,sin xcot x = sin xcdotsin xcos x Longrightarrow ddxl(sin x;yr) = sin^2 x;cos x
Integramos ambos os lados:
integral ddx(sin x,y),dx = integral sin^2 xcos x,dx
Fazendo a substituição u=sin x, du=cos x,dx, vem
integral u^2,du = u^33 = sin^3 x3,
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sin x,y = sin^3 x3 + C

Passo 5

Isolando y:
y = sin^3 x3sin x + Csin x = sin^2 x3 + C,csc x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = 13,sin^2 x ;+; C,csc x,
onde C é constante arbitrária.

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