Resolva as equações diferenciais.
y^prime+1x+1 y=sin x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 1x+1,y = sin x
Esse tipo de equação é resolvido usando o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) por
mu(x) = exp!l(integral 1x+1,dxr) = expl(ln|x+1|r) = |x+1|
Em um intervalo onde x+1>0, basta tomar mu(x)=x+1.

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=x+1, obtemos
(x+1),y' + x+1x+1,y = (x+1)sin x
que simplifica para
(x+1),y' + y = (x+1)sin x
. Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada de (x+1)y, ou seja,
ddxl((x+1)yr) = (x+1)sin x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo vem (x+1)y. Do lado direito, usamos integração por partes em
integral (x+1)sin x,dx
Defina u=x+1 e dv=sin x,dx; então du=dx e v=-cos x. Assim
integral (x+1)sin x,dx = -(x+1)cos x + integral cos x,dx = -(x+1)cos x + sin x + C
. Portanto
(x+1)y = -(x+1)cos x + sin x + C

Passo 5

Isolando y ao dividir por x+1, obtemos
y = -cos x + sin xx+1 + Cx+1

Resposta

y(x) = -cos x + sin x + Cx+1,
onde C é a constante de integração.

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