Mostre que a funçăo f dada por f(x)=|x| é contínua em R^*. [ Dica: Considere |x-a|^2=(x-a) cdot(x-a)]

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon R^*toR
por
f(x) = lvert xrvert,
onde lvert xrvert é a norma euclidiana de x.
Queremos mostrar que f é contínua em todo ponto ainR^*, ou seja, para cada varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
lvert x-arvert<de<a Longrightarrow llvert f(x) - f(a)rrvert<varepsilon
A dica sugere usar
lvert x-arvert^2 =(x-a)cdot(x-a),
mas nós vamos aproveitar também a identidade de diferença de quadrados para normas.

Passo 2

Começamos observando que
lvert xrvert^2 - lvert arvert^2 = xcdotx ;-; acdota = (x-a)cdot(x+a)
Logo, pela fatoração de diferença de quadrados, temos
lvert xrvert - lvert arvert = lvert xrvert^2 - lvert arvert^2lvert xrvert + lvert arvert = (x-a)cdot(x+a)lvert xrvert + lvert arvert

Passo 3

Tomando valor absoluto e usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz,
llvert lvert xrvert - lvert arvertrrvert = llvert(x-a)cdot(x+a)rrvert lvert xrvert + lvert arvert <= lvert x-arvert;lvert x+arvert lvert xrvert + lvert arvert
Mas note que
lvert x+arvert <= lvert xrvert + lvert arvert,
então o quociente fica
lvert x-arvert;(lvert xrvert + lvert arvert) lvert xrvert + lvert arvert =lvert x-arvert
Portanto concluímos a desigualdade fundamental
llvert f(x) - f(a)rrvert = llvert lvert xrvert - lvert arvertrrvert <= lvert x-arvert

Passo 4

Dado varepsilon>0, basta escolher
de<a = varepsilon
Então, sempre que lvert x-arvert<de<a, temos
llvert f(x) - f(a)rrvert <= lvert x-arvert < de<a = varepsilon
Isto mostra diretamente a continuidade de f em a.

Resposta

A função f(x)=lvertxrvert é contínua em todo R^*.

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