Mostre que a funçăo
dada por
é contínua em
.
Dica: Considere
Passo 1
O enunciado define a função
por
por
onde
é a norma euclidiana de
.
Queremos mostrar que é contínua em todo ponto
, ou seja, para cada
existe
tal que
Queremos mostrar que
A dica sugere usar
mas nós vamos aproveitar também a identidade de diferença de quadrados para normas.
Passo 2
Começamos observando que
Logo, pela fatoração de diferença de quadrados, temos
Passo 3
Tomando valor absoluto e usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz,
Mas note que
então o quociente fica
Portanto concluímos a desigualdade fundamental
Passo 4
Dado
varepsilon>0 , basta escolher
Então, sempre que
lvert x-arvert<de<a , temos
Isto mostra diretamente a continuidade de
f em
a .
Resposta
A função
f(x)=lvertxrvert é contínua em todo
R^* .