C- Nos itens abaixo, obtenha, caso existam, lim x a^- f(x) lim x a^+ f(x) e lim x a f(x). A seguir, decida se f é continua em a e esboce seu grático.
f(x)=ll2 x-3, & se x<1 2, & se x=1 -x, & se x>1 , a=1

Passo 1

Vamos estudar a função peça-por-peça perto de a=1, usando limites laterais e continuidade de funções definidas por partes.

Passo 2

Para calcular limxto1^-f(x), usamos a expressão válida para x<1, que é f(x)=2x-3. Como é contínua nessa parte, basta substituir x=1:
limxto1^-f(x)=2cdot1-3=-1
Para calcular limxto1^+f(x), usamos a expressão para x>1, ou seja, f(x)=-x. De novo, substituímos x=1:
limxto1^+f(x)=-1
Como limxto1^-f(x)=-1 e limxto1^+f(x)=-1, os limites laterais coincidem. Logo o limite comum existe e vale
limxto1f(x)=-1

Passo 3

A continuidade em x=1 exige que limxto1f(x)=f(1). Mas f(1)=2 e o limite é -1, portanto não coincidem. Concluímos que f não é contínua em x=1.

Passo 4

Para esboçar o gráfico:
  • No intervalo x<1 tracemos a reta y=2x-3 com círculo aberto em (1,-1).
  • No ponto x=1 colocamos ponto cheio em (1,2).
  • Para x>1 tracemos a reta y=-x com círculo aberto em (1,-1).

Resposta

limxto1^-f(x)=-1, limxto1^+f(x)=-1, limxto1f(x)=-1 A função não é contínua em x=1. O gráfico é composto pela reta y=2x-3 para x<1 (círculo aberto em (1,-1)), o ponto (1,2) e a reta y=-x para x>1 (círculo aberto em (1,-1)).

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