E=(raiz[4]raiz[4]2^3)^3 cdot raiz[4]raiz8 cdot raiz(raiz[8]32)^3 cdot raiz[8]128(raiz[4]8)^3 cdot raiz2

Passo 1

O enunciado nos pede para simplificar a expressão
E=(raiz[4]raiz[4]2^3)^3cdotraiz[4]raiz8cdotraiz(raiz[8]32)^3cdotraiz[8]128(raiz[4]8)^3cdotraiz2
O conteúdo que vamos usar é a conversão de radicais em potências fracionárias e a soma/subtração de expoentes.

Passo 2

Para simplificar, vamos reescrever cada radical como potência de 2:
(raiz[4]raiz[4]2^3)^3=(2^3)^tfrac14cdottfrac14cdot3, raiz[4]raiz8=8^tfrac12cdottfrac14, $$
\sqrt{(\sqrt[8]{32}){3}}=32{\tfrac{1}{8}\cdot3\cdot\tfrac{1}{2}},
\quad\sqrt[8]{128}=128^{\tfrac{1}{8}},
$$ raiz(raiz[8]32)^3=32^tfrac18cdot3cdottfrac12, raiz[8]128=128^tfrac18,

Passo 3

Agora calculamos cada expoente:
(raiz[4]raiz[4]2^3)^3=2^3cdottfrac14cdottfrac14=2^tfrac916, raiz[4]raiz8=2^3cdottfrac12cdottfrac14=2^tfrac38, $$
\sqrt{(\sqrt[8]{32}){3}}=2{5\cdot\tfrac{1}{8}\cdot3\cdot\tfrac{1}{2}}=2^{\tfrac{15}{16}},
\quad\sqrt[8]{128}=2{7\cdot\tfrac{1}{8}}=2{\tfrac{7}{8}},
raiz(raiz[8]32)^3=2^5cdottfrac18cdot3cdottfrac12=2^tfrac1516, raiz[8]128=2^7cdottfrac18=2^tfrac78,
(\sqrt[4]{8}){3}=2{3\cdot\tfrac{1}{4}\cdot3}=2^{\tfrac{9}{4}},
\quad\sqrt{2}=2^{\tfrac{1}{2}}.
$$

Passo 4

Somamos os expoentes no numerador e no denominador separadamente. No numerador:
916+38+1516+78=9+6+15+1416=4416=114
No denominador:
94+12=9+24=114

Passo 5

Como os expoentes do numerador e do denominador são iguais, subtraímos:
E=2^tfrac114-tfrac114=2^0=1

Resposta

1

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