C- Nos itens abaixo, obtenha, caso existam, lim x a^- f(x) lim x a^+ f(x) e lim x a f(x). A seguir, decida se f é continua em a e esboce seu grático.
f(x)=llx^2, & se x<2 8-2 x, & se x >= 2, a=2

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a função f definida por partes em torno de a = 2 e calcular limxto2^-f(x), limxto2^+f(x) e limxto2f(x), depois verificar se f é contínua em 2 e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Para x<2 vale f(x)=x^2. Então
limxto2^-f(x)=limxto2^-x^2=2^2=4

Passo 3

Para x>=2 vale f(x)=8-2x. Então
limxto2^+f(x)=limxto2^+(8-2x)=8-2cdot2=4

Passo 4

Como os dois limites laterais são iguais a 4, temos
limxto2f(x)=4

Passo 5

Agora, f(2) pela definição é 8-2cdot2=4. Como
limxto2f(x)=f(2)=4,
a função é contínua em x=2.

Passo 6

Para esboçar o gráfico basta juntar: a parte da parábola y=x^2 para x<2 com um círculo aberto em (2,4), e o segmento de reta y=8-2x para x>=2 com ponto fechado em (2,4).

Resposta

limxto2^-f(x)=4,;limxto2^+f(x)=4,;limxto2f(x)=4 A função é contínua em x=2. Gráfico: parábola y=x^2 para x<2 (c/ ponto aberto em (2,4)) e reta y=8-2x para x>=2 (c/ ponto fechado em (2,4)).

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