(c)
é a matriz identidade de ordem 3 .
Passo 1
O enunciado pede para tratar a equação matricial
onde
é a matriz identidade de ordem 3. As informações dadas são:
- A equação matricial acima (tem
, e ). -
é a matriz identidade . - Não foram fornecidas entradas numéricas específicas para as matrizes
e ; portanto elas serão tratadas simbolicamente como matrizes .
O que o problema pede (explicitamente): determinarque satisfaz a equação matricial dada.
Passo 2
Estratégia: isolar
na equação. Em álgebra matricial podemos somar, subtrair e multiplicar por escalares da mesma forma que em álgebra de números reais, desde que as dimensões sejam compatíveis. Vamos fazer manipulações algébricas elementares para obter
em função de
e
.
Começando da equação dada:
Somando
em ambos os lados e subtraindo
dos dois lados, obtemos diretamente:
Passo 3
Agora dividimos por
(isto é, multiplicamos por
), já que multiplicação por escalar é definida entrada a entrada em matrizes:
Vamos aproveitar para simplificar
usando propriedades da transposição: a transposição distribui sobre soma e diferença e
. Então
Substituindo isso em
,
Passo 4
Interpretação prática e verificação rápida:
- Todas as matrizes envolvidas (
, , ) são , então a soma é válida e também será . - Para calcular
na prova, faça nesta ordem prática: - Calcule
(trocar linhas por colunas). - Calcule o produto matricial
(linha de por coluna de ). - Some as matrizes
, e . - Multiplique cada entrada da matriz resultante por
.
- Calcule
- Como verificação simbólica: multiplicando ambos os lados da expressão obtida por
recupera a equação original.
Passo 5
Fórmula elemento a elemento (útil para fazer à mão sem notação de matrizes):
sejam as entradas de
e
as entradas de
, e
o símbolo de Kronecker (
se
e
caso contrário). Então a entrada
de
é
sejam
Aqui cada parte significa:
-
vem de , -
vem de (observe a transposição: índice invertido), -
é a definição de multiplicação matricial .