(c) \left(I_{3}-C\right)^{T}+A C-4 X=0 . \quad I_{3} é a matriz identidade de ordem 3 .

Passo 1

O enunciado pede para tratar a equação matricial
\left(I_{3}-C\right)^{T}+A C-4 X=0,
onde I_{3} é a matriz identidade de ordem 3. As informações dadas são:
  • A equação matricial acima (tem \left(I_{3}-C\right)^{T}, A C e X).
  • I_{3} é a matriz identidade 3\times3.
  • Não foram fornecidas entradas numéricas específicas para as matrizes A e C; portanto elas serão tratadas simbolicamente como matrizes 3\times3.
    O que o problema pede (explicitamente): determinar X que satisfaz a equação matricial dada.

Passo 2

Estratégia: isolar X na equação. Em álgebra matricial podemos somar, subtrair e multiplicar por escalares da mesma forma que em álgebra de números reais, desde que as dimensões sejam compatíveis. Vamos fazer manipulações algébricas elementares para obter X em função de A e C.
Começando da equação dada:
\left(I_{3}-C\right)^{T}+A C-4 X=0.
Somando 4X em ambos os lados e subtraindo \left(I_{3}-C\right)^{T}+A C dos dois lados, obtemos diretamente:
4X=\left(I_{3}-C\right)^{T}+A C.

Passo 3

Agora dividimos por 4 (isto é, multiplicamos por 1/4), já que multiplicação por escalar é definida entrada a entrada em matrizes:
X=\tfrac{1}{4}\bigl(\left(I_{3}-C\right)^{T}+A C\bigr).
Vamos aproveitar para simplificar \left(I_{3}-C\right)^{T} usando propriedades da transposição: a transposição distribui sobre soma e diferença e (I_{3})^{T}=I_{3}. Então
\left(I_{3}-C\right)^{T}=I_{3}^{T}-C^{T}=I_{3}-C^{T}.
Substituindo isso em X,
X=\tfrac{1}{4}\bigl(I_{3}-C^{T}+A C\bigr).

Passo 4

Interpretação prática e verificação rápida:
  • Todas as matrizes envolvidas ( I_{3}, C^{T}, A C) são 3\times3, então a soma é válida e X também será 3\times3.
  • Para calcular X na prova, faça nesta ordem prática:
    1. Calcule C^{T} (trocar linhas por colunas).
    2. Calcule o produto matricial A C (linha de A por coluna de C).
    3. Some as matrizes I_{3}, -C^{T} e A C.
    4. Multiplique cada entrada da matriz resultante por \tfrac{1}{4}.
  • Como verificação simbólica: multiplicando ambos os lados da expressão obtida por 4 recupera a equação original.

Passo 5

Fórmula elemento a elemento (útil para fazer à mão sem notação de matrizes):
sejam a_{ik} as entradas de A e c_{ij} as entradas de C, e \delta_{ij} o símbolo de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j e 0 caso contrário). Então a entrada x_{ij} de X é
x_{ij}=\tfrac{1}{4}\Bigl(\delta_{ij}-c_{ji}+\sum_{k=1}^{3}a_{ik}\,c_{kj}\Bigr).
Aqui cada parte significa:
  • \delta_{ij} vem de I_{3},
  • -c_{ji} vem de -C^{T} (observe a transposição: índice invertido),
  • \sum_{k=1}^{3}a_{ik}c_{kj} é a definição de multiplicação matricial (AC)_{ij}.

Resposta

X=\tfrac{1}{4}\bigl(I_{3}-C^{T}+A C\bigr)

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