Exercise 10 (Menor gasto). Para ajudar no crescimento de uma planta é necessário regar-la uma única vez por semana com uma disolução em 2 litros de agua de 40 comprimidos de um composto A e 30 comprimidos de um composto B. Na loja apenas tem dois tipos embalados para venta: 7 caixas (fechadas) com 5 comprimidos de A e 5 comprimidos de B e custa R \ 8,00 cada caixa e 5 caixas com 8 comprimidos deA e 4 deB e custaR $12,00$ cada caixa.
(a) Achar o valor que custa individualmente cada comprimido do composto A e B.
(a) Cuanto deveria gastar para cubrir a dose necessária se tivesse conseguido comprar os comprimidos individualmente?
(b) Qual é melhor forma (mais barata) de poder cubrir a quantidade necessária de compostos A e B ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todas as quantidades e preços do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Dose semanal necessária: \,40 comprimidos do composto A e \,30 comprimidos do composto B.
  • Dois tipos de caixas disponíveis na loja (com estoque limitado):
    • Tipo 1: existem \,7 caixas disponíveis; cada caixa contém \,5 comprimidos de A e \,5 comprimidos de B; preço de cada caixa: R\$ 8,00.
    • Tipo 2: existem \,5 caixas disponíveis; cada caixa contém \,8 comprimidos de A e \,4 comprimidos de B; preço de cada caixa: R\$ 12,00.
O enunciado pede:
  1. (a) Achar o valor que custa individualmente cada comprimido do composto A e do composto B.
  2. (a) (segunda pergunta etiquetada como (a) no enunciado) Quanto deveria gastar para cobrir a dose necessária se tivesse conseguido comprar os comprimidos individualmente?
  3. (b) Qual é a forma mais barata, usando as caixas disponíveis na loja, para cobrir a quantidade necessária de A e B?

Passo 2

Definir incógnitas e montar o sistema para achar o preço por comprimido.
Seja:
a
o preço (em reais) de um comprimido do composto A, e
b
o preço (em reais) de um comprimido do composto B.
A partir do conteúdo e preço de cada tipo de caixa obtemos duas equações:
  • Para a caixa do tipo 1 (5 A e 5 B por R\$ 8,00):
5a + 5b = 8.
  • Para a caixa do tipo 2 (8 A e 4 B por R\$ 12,00):
8a + 4b = 12.
Estas duas equações formam um sistema linear com duas incógnitas a e b. A ideia é resolver esse sistema para obter o preço unitário de cada comprimido.

Passo 3

Resolver o sistema passo a passo.
Primeira equação:
5a + 5b = 8.
Dividindo ambos os lados por 5\) para simplificar: \[a + b = \frac{8}{5} = 1{,}6.
Segunda equação:
8a + 4b = 12.
Podemos dividir ambos os lados por 4:
2a + b = 3.
Agora temos o sistema reduzido:
\begin{cases} a + b = 1{,}6,\\[4pt] 2a + b = 3. \end{cases}
Subtrair a primeira linha da segunda para eliminar b\]: \[(2a + b) - (a + b) = 3 - 1{,}6.\] No lado esquerdo \(b cancela e sobra a; no direito:
a = 1{,}4.
Com a = 1{,}4, substituir em a + b = 1{,}6:
1{,}4 + b = 1{,}6 \quad\Rightarrow\quad b = 1{,}6 - 1{,}4 = 0{,}2.
Portanto os preços unitários são a = R\$1{,}40 e b = R\$ 0{,}20.]

Passo 4

Calcular quanto custaria comprar os comprimidos individualmente (sem usar caixas).
Se comprar individualmente a dose necessária, o gasto total seria:
\text{custo\_individual} = 40a + 30b.
Substituindo a = 1{,}4 e b = 0{,}2:
\text{custo\_individual} = 40\cdot 1{,}4 + 30\cdot 0{,}2.
Calcular cada termo:
40\cdot 1{,}4 = 56,\qquad 30\cdot 0{,}2 = 6.
Somando:
\text{custo\_individual} = 56 + 6 = 62.
Logo, comprando comprimidos individualmente custaria R\$ 62{,}00.

Passo 5

Modelar a escolha de caixas para cobrir a demanda usando os lotes disponíveis (problema inteiro com restrições).
Defina:
x
= número de caixas do tipo 1 a comprar (cada uma tem 5A e 5B), com 0\le x\le 7 e x inteiro;
y
= número de caixas do tipo 2 a comprar (cada uma tem 8A e 4B), com 0\le y\le 5 e y inteiro.
As restrições para atender a demanda “pelo menos” são:
  • Para o composto A:
5x + 8y \ge 40.
  • Para o composto B:
5x + 4y \ge 30.
Função custo a minimizar:
C(x,y) = 8x + 12y.
Como x,y são inteiros e os limites são pequenos ( x até 7, y até 5), a forma prática e segura é testar os valores possíveis de y e, para cada y, calcular o menor x inteiro que satisfaça as duas desigualdades. Depois comparar os custos.

Passo 6

Enumerar os casos y=0,1,\dots,5 e achar o menor x possível em cada caso (mostrando os cálculos).
Para cada y calculo as duas condições para x:
x \ge \frac{40-8y}{5}\quad\text{(para \(A\))},\qquad x \ge \frac{30-4y}{5}\quad\text{(para \(B\))},
e tomo x como o teto (menor inteiro maior ou igual) do maior desses dois números, respeitando x\le 7.
  • y=0:
    x \ge \frac{40-0}{5}=8\quad\Rightarrow\quad x\ge 8,
    mas x\le 7; portanto impossível com y=0.
  • y=1:
    x \ge \frac{40-8}{5}=\frac{32}{5}=6{,}4\Rightarrow x\ge 7,
x \ge \frac{30-4}{5}=\frac{26}{5}=5{,}2\Rightarrow x\ge 6.
Logo x\ge 7. Com x=7,y=1 o custo é
C=8\cdot 7 + 12\cdot 1 =56+12=68.
  • y=2: x \ge \frac{40-16}{5}=\frac{24}{5}=4{,}8\Rightarrow x\ge 5,
x \ge \frac{30-8}{5}=\frac{22}{5}=4{,}4\Rightarrow x\ge 5.
Logo x\ge 5. Tomando x=5 (menor possível) temos
C=8\cdot 5 + 12\cdot 2 =40+24=64.
  • y=3: x \ge \frac{40-24}{5}=\frac{16}{5}=3{,}2\Rightarrow x\ge 4,
x \ge \frac{30-12}{5}=\frac{18}{5}=3{,}6\Rightarrow x\ge 4.
Tomando x=4:
C=8\cdot 4 + 12\cdot 3 =32+36=68.
  • y=4: x \ge \frac{40-32}{5}=\frac{8}{5}=1{,}6\Rightarrow x\ge 2,
x \ge \frac{30-16}{5}=\frac{14}{5}=2{,}8\Rightarrow x\ge 3.
Tomando x=3:
C=8\cdot 3 + 12\cdot 4 =24+48=72.
  • y=5: x \ge \frac{40-40}{5}=0\Rightarrow x\ge 0,
x \ge \frac{30-20}{5}=\frac{10}{5}=2\Rightarrow x\ge 2.
Tomando x=2:
C=8\cdot 2 + 12\cdot 5 =16+60=76.
Dos casos viáveis os custos obtidos foram 68,64,68,72,76. O menor custo é R\$ 64{,}00, obtido com x=5 caixas do tipo 1 e y=2 caixas do tipo 2.
Verificação do conteúdo dessa escolha:
A:\\\ 5\cdot 5 + 2\cdot 8 =25 + 16 = 41 \ge 40,
B:\\\ 5\cdot 5 + 2\cdot 4 =25 + 8 = 33 \ge 30.
Atende a demanda e respeita os estoques ( 5\le 7, 2\le 5).

Passo 7

Interpretação final e comparação:
  • Comprar os comprimidos individualmente custa R\$ 62{,}00.
  • A melhor combinação de caixas disponíveis custa R\$ 64{,}00 (comprando 5 caixas do tipo 1 e 2 caixas do tipo 2), fornecendo 41 comprimidos de A e 33 comprimidos de B.
  • Conclusão prática: se for possível comprar comprimidos individualmente àquele preço unitário, sairia mais barato comprar individuais ( R\$62{,}00 < R\$ 64{,}00). Se só for possível comprar as caixas da loja (com os estoques dados), a menor despesa possível é R\$ 64{,}00.

Resposta

A: R\$1{,}40 e B: R\$ 0{,}20.
Custo comprando comprimidos individualmente: R\$ 62{,}00.
Melhor forma com as caixas disponíveis: comprar 5 caixas do tipo 1 e 2 caixas do tipo 2, custo R\$ 64{,}00 (fornece 41 de A e 33 de B).

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