Exercise 10 (Menor gasto). Para ajudar no crescimento de uma planta é necessário regar-la uma única vez por semana com uma disolução em 2 litros de agua de 40 comprimidos de um composto
e 30 comprimidos de um composto
. Na loja apenas tem dois tipos embalados para venta: 7 caixas (fechadas) com 5 comprimidos de
e 5 comprimidos de
e custa
8,00
A
B
R $12,00$ cada caixa.
(a) Achar o valor que custa individualmente cada comprimido do composto
e
.
(a) Cuanto deveria gastar para cubrir a dose necessária se tivesse conseguido comprar os comprimidos individualmente?
(b) Qual é melhor forma (mais barata) de poder cubrir a quantidade necessária de compostos
e
?
(a) Achar o valor que custa individualmente cada comprimido do composto
(a) Cuanto deveria gastar para cubrir a dose necessária se tivesse conseguido comprar os comprimidos individualmente?
(b) Qual é melhor forma (mais barata) de poder cubrir a quantidade necessária de compostos
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todas as quantidades e preços do enunciado).
Dados fornecidos:
- Dose semanal necessária:
comprimidos do composto e comprimidos do composto . - Dois tipos de caixas disponíveis na loja (com estoque limitado):
- Tipo 1: existem
caixas disponíveis; cada caixa contém comprimidos de e comprimidos de ; preço de cada caixa: . - Tipo 2: existem
caixas disponíveis; cada caixa contém comprimidos de e comprimidos de ; preço de cada caixa: .
- Tipo 1: existem
O enunciado pede:
- (a) Achar o valor que custa individualmente cada comprimido do composto
e do composto . - (a) (segunda pergunta etiquetada como (a) no enunciado) Quanto deveria gastar para cobrir a dose necessária se tivesse conseguido comprar os comprimidos individualmente?
- (b) Qual é a forma mais barata, usando as caixas disponíveis na loja, para cobrir a quantidade necessária de
e ?
Passo 2
Definir incógnitas e montar o sistema para achar o preço por comprimido.
Seja:
o preço (em reais) de um comprimido do composto
, e
o preço (em reais) de um comprimido do composto
.
A partir do conteúdo e preço de cada tipo de caixa obtemos duas equações:
- Para a caixa do tipo 1 (5 A e 5 B por
):
- Para a caixa do tipo 2 (8 A e 4 B por
):
Estas duas equações formam um sistema linear com duas incógnitas
e
. A ideia é resolver esse sistema para obter o preço unitário de cada comprimido.
Passo 3
Resolver o sistema passo a passo.
Primeira equação:
Dividindo ambos os lados por
Segunda equação:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Agora temos o sistema reduzido:
Subtrair a primeira linha da segunda para eliminar
cancela e sobra
; no direito:
Com
, substituir em
:
Portanto os preços unitários são
e
.]
Passo 4
Calcular quanto custaria comprar os comprimidos individualmente (sem usar caixas).
Se comprar individualmente a dose necessária, o gasto total seria:
Substituindo
e
:
Calcular cada termo:
Somando:
Logo, comprando comprimidos individualmente custaria
.
Passo 5
Modelar a escolha de caixas para cobrir a demanda usando os lotes disponíveis (problema inteiro com restrições).
Defina:
= número de caixas do tipo 1 a comprar (cada uma tem 5A e 5B), com
e
inteiro;
= número de caixas do tipo 2 a comprar (cada uma tem 8A e 4B), com
e
inteiro.
As restrições para atender a demanda “pelo menos” são:
- Para o composto
:
- Para o composto
:
Função custo a minimizar:
Como
são inteiros e os limites são pequenos (
até
,
até
), a forma prática e segura é testar os valores possíveis de
e, para cada
, calcular o menor
inteiro que satisfaça as duas desigualdades. Depois comparar os custos.
Passo 6
Enumerar os casos
e achar o menor
possível em cada caso (mostrando os cálculos).
Para cada
calculo as duas condições para
:
e tomo
como o teto (menor inteiro maior ou igual) do maior desses dois números, respeitando
.
-
: mas; portanto impossível com . -
:
Logo
. Com
o custo é
-
:
Logo
. Tomando
(menor possível) temos
-
:
Tomando
:
-
:
Tomando
:
-
:
Tomando
:
Dos casos viáveis os custos obtidos foram
. O menor custo é
, obtido com
caixas do tipo 1 e
caixas do tipo 2.
Verificação do conteúdo dessa escolha:
Atende a demanda e respeita os estoques (
,
).
Passo 7
Interpretação final e comparação:
- Comprar os comprimidos individualmente custa
. - A melhor combinação de caixas disponíveis custa
(comprando caixas do tipo 1 e caixas do tipo 2), fornecendo comprimidos de e comprimidos de . - Conclusão prática: se for possível comprar comprimidos individualmente àquele preço unitário, sairia mais barato comprar individuais (
< ). Se só for possível comprar as caixas da loja (com os estoques dados), a menor despesa possível é .
Resposta
Custo comprando comprimidos individualmente:
Melhor forma com as caixas disponíveis: comprar