Exercício 2. Dê um exemplo de duas matrizes não nulas A, B tais que A B=0. Melhor ainda, dê exemplos de duas matrizes A, B não nulas tais que A B=B A=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Dar um exemplo de duas matrizes não nulas A,B tais que AB=0.
  • (Melhor ainda) Dar exemplos de duas matrizes não nulas A,B tais que AB=BA=0.
As únicas informações são essas; não há restrição sobre a ordem das matrizes (posso escolher matrizes 2\times2 quadradas para simplicidade).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de multiplicação de matrizes de forma bem direta e prática. Se A é uma matriz m\times n e B é uma matriz n\times p, então o produto AB é uma matriz m\times p cujas entradas são dadas por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}.
Isto significa: para calcular a entrada na linha i e coluna j de AB, multiplica-se cada elemento da linha i de A pelo elemento correspondente da coluna j de B e soma-se tudo. A consequência prática é que mesmo com A\neq0 e B\neq0 podemos ter todas essas somas iguais a zero, logo AB=0. Vamos construir exemplos concretos e calcular cada entrada para você poder replicar na prova.

Passo 3

Escolho matrizes 2\times2 simples. Seja
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Vamos calcular AB entrada a entrada usando a fórmula do passo anterior.
  • Entrada (AB)_{11}:
(AB)_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}=1\cdot 0 + 0\cdot 1=0.
  • Entrada (AB)_{12}:
(AB)_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}=1\cdot 0 + 0\cdot 0=0.
  • Entrada (AB)_{21}:
(AB)_{21}=A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}=0\cdot 0 + 0\cdot 1=0.
  • Entrada (AB)_{22}:
(AB)_{22}=A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}=0\cdot 0 + 0\cdot 0=0.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Ambas A e B são não nulas (cada uma tem um elemento igual a 1), então este é um exemplo válido de A,B\neq0 com AB=0.
Só para checar que não é o caso trivial de ambas serem zero, calculemos uma entrada de BA:
(BA)_{21}=B_{21}A_{11}+B_{22}A_{21}=1\cdot 1 + 0\cdot 0=1\neq0,
logo BA\neq0. Assim este exemplo mostra claramente que AB=0 não implica BA=0.]

Passo 4

Uma forma muito simples de garantir que AB=BA=0 é escolher matrizes diagonais que tenham suportes disjuntos nas diagonais (ou seja, entradas diagonais não nulas em posições diferentes). Por exemplo, tome
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Multiplicação de matrizes diagonal por diagonal é elemento a elemento na diagonal, então
AB=\begin{pmatrix}1\cdot 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\cdot 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Do mesmo modo
BA=\begin{pmatrix}0\cdot 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Ambas A e B são não nulas (cada uma tem um 1 na diagonal), e AB=BA=0. Note também que, por serem diagonais, A e B comutam, o que facilita obter AB=BA.]

Passo 5

  • Ideia geral: para ter AB=0 você pode fazer com que as colunas de B caiam no núcleo (kernel) de A. Em termos geométricos: a imagem de B deve estar contida no núcleo de A.
  • Para AB=BA=0 uma construção fácil é usar matrizes diagonais com suportes diagonais disjuntos (como no exemplo). Outra alternativa: escolher matrizes com “blocos” em posições diferentes (matrizes que atuam em subespaços perpendiculares), ou projetores/rank-1 com imagens e núcleos apropriados.
  • Esses exemplos mostram que matrizes têm “zero divisors”: há matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula — isso é diferente do comportamento de números reais não nulos.

Resposta

A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}]

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