Exercício 2. Dê um exemplo de duas matrizes não nulas
tais que
. Melhor ainda, dê exemplos de duas matrizes
não nulas tais que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Dar um exemplo de duas matrizes não nulas
tais que . - (Melhor ainda) Dar exemplos de duas matrizes não nulas
tais que .
As únicas informações são essas; não há restrição sobre a ordem das matrizes (posso escolher matrizes
quadradas para simplicidade).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de multiplicação de matrizes de forma bem direta e prática. Se
é uma matriz
e
é uma matriz
, então o produto
é uma matriz
cujas entradas são dadas por
Isto significa: para calcular a entrada na linha
e coluna
de
, multiplica-se cada elemento da linha
de
pelo elemento correspondente da coluna
de
e soma-se tudo. A consequência prática é que mesmo com
e
podemos ter todas essas somas iguais a zero, logo
. Vamos construir exemplos concretos e calcular cada entrada para você poder replicar na prova.
Passo 3
Escolho matrizes
simples. Seja
Vamos calcular
entrada a entrada usando a fórmula do passo anterior.
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
Portanto
Ambas
e
são não nulas (cada uma tem um elemento igual a
), então este é um exemplo válido de
com
.
Só para checar que não é o caso trivial de ambas serem zero, calculemos uma entrada de
:
logo
. Assim este exemplo mostra claramente que
não implica
.]
Passo 4
Uma forma muito simples de garantir que
é escolher matrizes diagonais que tenham suportes disjuntos nas diagonais (ou seja, entradas diagonais não nulas em posições diferentes). Por exemplo, tome
Multiplicação de matrizes diagonal por diagonal é elemento a elemento na diagonal, então
Do mesmo modo
Ambas
e
são não nulas (cada uma tem um
na diagonal), e
. Note também que, por serem diagonais,
e
comutam, o que facilita obter
.]
Passo 5
- Ideia geral: para ter
você pode fazer com que as colunas de caiam no núcleo (kernel) de . Em termos geométricos: a imagem de deve estar contida no núcleo de . - Para
uma construção fácil é usar matrizes diagonais com suportes diagonais disjuntos (como no exemplo). Outra alternativa: escolher matrizes com “blocos” em posições diferentes (matrizes que atuam em subespaços perpendiculares), ou projetores/rank-1 com imagens e núcleos apropriados. - Esses exemplos mostram que matrizes têm “zero divisors”: há matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula — isso é diferente do comportamento de números reais não nulos.