Exercício 3. Achar três matrizes
e
tais que
, mas
Passo 1
O enunciado pede: achar três matrizes
,
e
tais que
, mas
.
Informações e escolhas que podemos fazer sem perder generalidade:
Informações e escolhas que podemos fazer sem perder generalidade:
- Podemos escolher as dimensões das matrizes para facilitar o exemplo. Vou escolher matrizes
(simples de calcular e suficientes). - Quero uma construção concreta e fácil de checar com multiplicações manuais sem calculadora.
Passo 2
Observação algébrica útil (fácil de ensinar e aplicar na prova). A condição
é equivalente a
onde
é a matriz nula de dimensões compatíveis. Isso vem do fato de que
.
Explicando a ideia: se existir uma matriz não nula
tal que
, então podemos tomar
e teremos
portanto
mesmo com
. Ou seja, precisamos que
seja tal que exista um
com
. Na prática, isso acontece sempre que a multiplicação à direita por
não for injetora — por exemplo, quando
é singular (tem colunas que geram um subespaço que pode ser anulado por alguma matriz não nula).
Passo 3
Escolha concreta e muito simples (escolha padrão em provas): tamanhos
. Defina
Anotação: as colunas de
são
e
. Repare que a segunda coluna é o vetor nulo, o que facilita anular produtos.]
Passo 4
Agora escolha
e
de forma que
seja não nula mas satisfaça
(assim
). Uma escolha simples:
Verificação rápida de que
:
enquanto
, logo as matrizes são diferentes.]
Passo 5
Calcule
passo a passo. Uma maneira pedagógica: a multiplicação por matriz age coluna a coluna, ou seja, as colunas de
são
e
. Assim,
Portanto
Passo 6
Calcule
do mesmo modo: as colunas de
são
e
. Então
Logo
Passo 7
Concluímos que
. Como já observamos,
. Assim encontramos um exemplo que satisfaz o pedido:
mas
. Intuição final: a segunda coluna nula de
e o fato de
e
terem a mesma ação sobre a primeira coluna de
fazem com que os produtos coincidam, mesmo que
e
sejam diferentes em entradas que não aparecem ao multiplicar por
.
Passo 8
Comentário rápido para a prova (dica prática): sempre que precisar demonstrar que a multiplicação à direita por
não é injetora, escolha
singular (por exemplo, com alguma coluna nula ou colunas linearmente dependentes). Então construa
e
com diferença
que anule exatamente as colunas de
. Isso cria muitos exemplos fáceis de checar.