Exercício 3. Achar três matrizes A, B e C tais que A C=B C, mas A \neq B .^{1}

Passo 1

O enunciado pede: achar três matrizes A, B e C tais que AC=BC, mas A\neq B.
Informações e escolhas que podemos fazer sem perder generalidade:
  • Podemos escolher as dimensões das matrizes para facilitar o exemplo. Vou escolher matrizes 2\times 2 (simples de calcular e suficientes).
  • Quero uma construção concreta e fácil de checar com multiplicações manuais sem calculadora.

Passo 2

Observação algébrica útil (fácil de ensinar e aplicar na prova). A condição AC=BC é equivalente a
(A-B)C=0,
onde 0 é a matriz nula de dimensões compatíveis. Isso vem do fato de que AC-BC=(A-B)C.
Explicando a ideia: se existir uma matriz não nula D tal que DC=0, então podemos tomar A=B+D e teremos (A-B)C=DC=0 portanto AC=BC mesmo com A\neq B. Ou seja, precisamos que C seja tal que exista um D\neq0 com DC=0. Na prática, isso acontece sempre que a multiplicação à direita por C não for injetora — por exemplo, quando C é singular (tem colunas que geram um subespaço que pode ser anulado por alguma matriz não nula).

Passo 3

Escolha concreta e muito simples (escolha padrão em provas): tamanhos 2\times2. Defina
C=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Anotação: as colunas de C são c_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e c_2=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}. Repare que a segunda coluna é o vetor nulo, o que facilita anular produtos.]

Passo 4

Agora escolha A e B de forma que A-B seja não nula mas satisfaça (A-B)c_1=0 (assim (A-B)C=0). Uma escolha simples:
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida de que A\neq B: A_{1,2}=0 enquanto B_{1,2}=1, logo as matrizes são diferentes.]

Passo 5

Calcule AC passo a passo. Uma maneira pedagógica: a multiplicação por matriz age coluna a coluna, ou seja, as colunas de AC são A c_1 e A c_2. Assim,
Ac_1 = A\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad Ac_2 = A\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto
AC=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}=C.]

Passo 6

Calcule BC do mesmo modo: as colunas de BC são B c_1 e B c_2. Então
Bc_1 = B\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad Bc_2 = B\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Logo
BC=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}=C.]

Passo 7

Concluímos que AC=BC=C. Como já observamos, A\neq B. Assim encontramos um exemplo que satisfaz o pedido: AC=BC mas A\neq B. Intuição final: a segunda coluna nula de C e o fato de A e B terem a mesma ação sobre a primeira coluna de C fazem com que os produtos coincidam, mesmo que A e B sejam diferentes em entradas que não aparecem ao multiplicar por C.

Passo 8

Comentário rápido para a prova (dica prática): sempre que precisar demonstrar que a multiplicação à direita por C não é injetora, escolha C singular (por exemplo, com alguma coluna nula ou colunas linearmente dependentes). Então construa A e B com diferença D=A-B\neq0 que anule exatamente as colunas de C. Isso cria muitos exemplos fáceis de checar.

Resposta

A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}
C=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}]

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