c) ao longo do caminho fechado formado pelas curvas
e
, no sentido anti-horário.
8. Calcular
, ao longo dos seguintes caminhos:
8. Calcular
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva fechada
formada pelas interseções das curvas
e
, no sentido anti-horário. O conteúdo aqui é reconhecimento de campo conservativo e uso do teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Observe que, para
, temos
Logo o campo
é o gradiente da função
isto é,
Passo 3
Como
é fechado, podemos partir de um ponto
, ir até
por um ramo e voltar de
a
pelo outro. As curvas se intersectam em
e
. Usando o teorema fundamental, a integral ao longo de cada ramo é simplesmente
Somando os dois trechos, dá