c) ao longo do caminho fechado formado pelas curvas y=x^{2} e x=y^{2}, no sentido anti-horário.
8. Calcular \int_{C}\left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d y\right], ao longo dos seguintes caminhos:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx \;+\;\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dy\Bigr)
ao longo da curva fechada C formada pelas interseções das curvas y=x^{2} e x=y^{2}, no sentido anti-horário. O conteúdo aqui é reconhecimento de campo conservativo e uso do teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Observe que, para r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, temos
d r = d\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr) =\frac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \,.
Logo o campo \bigl(P,Q\bigr)=\bigl(x/r,\;y/r\bigr) é o gradiente da função
\varphi(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \,,
isto é,
P\,dx+Q\,dy = d\varphi.

Passo 3

Como C é fechado, podemos partir de um ponto A, ir até B por um ramo e voltar de B a A pelo outro. As curvas se intersectam em A=(0,0) e B=(1,1). Usando o teorema fundamental, a integral ao longo de cada ramo é simplesmente
\int_{A}^{B}d\varphi = \varphi(B)-\varphi(A), \qquad \int_{B}^{A}d\varphi = \varphi(A)-\varphi(B).
Somando os dois trechos, dá
\bigl[\varphi(B)-\varphi(A)\bigr] + \bigl[\varphi(A)-\varphi(B)\bigr] = 0.

Resposta

0

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