Determine se existem ou não os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
\frac{\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). Isso é um problema de limite de função de duas variáveis. Uma estratégia clássica é passar para coordenadas polares, já que a expressão depende só de x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 e 0\le\theta<2\pi. Então
x^{2}+y^{2} = r^{2}
e a função vira
\frac{\sin\bigl(r^{2}\bigr)}{r^{2}}.

Passo 3

Como (x,y)\to(0,0) equivale a r\to0^{+}, basta estudar
\lim_{r\to0^{+}}\frac{\sin\bigl(r^{2}\bigr)}{r^{2}}.
Faça a substituição u = r^{2}. Quando r\to0^{+}, u\to0^{+}, e a expressão fica
\frac{\sin(u)}{u}.
É bem sabido no cálculo de uma variável que
\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u} = 1.

Passo 4

Como a expressão em coordenadas polares não depende de \theta e o limite unidimensional deu 1, concluímos que o limite bidimensional existe e vale 1.

Resposta

O limite existe e é igual a 1.

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