[1] [4.0 pontos] Sejam \alpha=\{(1,0),(0,1)\} e \beta=\{(1,1),(0,1)\} bases de \mathbb{R}^{2}. Seja
[T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{rr} -6 & -6 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]
(a) Obtenha a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cuja matriz da transformação T, nas bases \alpha e \beta, seja
[T]_{\beta}^{\alpha} dada acima.
(b) Se S(x, y)=(x+y, 2 x+y), ache [S]_{\beta}^{\alpha}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2: \alpha=\{(1,0),(0,1)\} (base canônica) e \beta=\{(1,1),(0,1)\}.
(a) Queremos achar a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 tal que a matriz de T que leva coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta seja
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix}-6 & -6\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
(b) Para S(x,y)=(x+y,2x+y), queremos achar a matriz [S]_{\beta}^{\alpha}, isto é, as coordenadas em \beta das imagens dos vetores da base \alpha.

Passo 2

Para qualquer vetor v=(x,y) escrito na base \alpha temos \bigl[v\bigr]_{\alpha}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Pela definição de matriz de transformação entre bases,
\bigl[T(v)\bigr]_{\beta} =[T]_{\beta}^{\alpha}\,\bigl[v\bigr]_{\alpha} =\begin{pmatrix}-6 & -6\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c_{1}\c_{2}\end{pmatrix},
onde
c_{1}=-6x-6y,\quad c_{2}=y.

Passo 3

Agora escrevemos T(v) em coordenadas canônicas usando a base \beta=\{b_{1},b_{2}\} com b_{1}=(1,1) e b_{2}=(0,1).
T(x,y)=c_{1}\,b_{1}+c_{2}\,b_{2} =(c_{1},c_{1})+(0,c_{2}) =(c_{1},\,c_{1}+c_{2}).
Substituindo c_{1}=-6x-6y e c_{2}=y obtemos
T(x,y)=\bigl(-6x-6y,\,-6x-6y+y\bigr) =\bigl(-6(x+y),\,-6x-5y\bigr).

Passo 4

Para montar [S]_{\beta}^{\alpha} calculamos as imagens dos vetores da base \alpha e expressamos em \beta: S(1,0)=(1,2). Queremos (1,2)=d_{1}(1,1)+d_{2}(0,1)=(d_{1},d_{1}+d_{2}).
Isto dá d_{1}=1 e d_{2}=1. Logo a primeira coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}. S(0,1)=(1,1). Queremos (1,1)=e_{1}(1,1)+e_{2}(0,1).
Isto dá e_{1}=1 e e_{2}=0. Logo a segunda coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto
[S]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.

Resposta

T(x,y)=\bigl(-6(x+y),\,-6x-5y\bigr). \displaystyle [S]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.

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