(a) Obtenha a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cuja matriz da transformação T, nas bases \alpha e \beta, seja [T]_{\beta}^{\alpha} dada acima.
(b) Se S(x, y)=(x+y, 2 x+y), ache [S]_{\beta}^{\alpha}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2: \alpha=\{(1,0),(0,1)\} (base canônica) e \beta=\{(1,1),(0,1)\}.
(a) Queremos achar a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 tal que a matriz de T que leva coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta seja
(b) Para S(x,y)=(x+y,2x+y), queremos achar a matriz [S]_{\beta}^{\alpha}, isto é, as coordenadas em \beta das imagens dos vetores da base \alpha.
Passo 2
Para qualquer vetor v=(x,y) escrito na base \alpha temos \bigl[v\bigr]_{\alpha}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Pela definição de matriz de transformação entre bases,
Para montar [S]_{\beta}^{\alpha} calculamos as imagens dos vetores da base \alpha e expressamos em \beta: S(1,0)=(1,2). Queremos (1,2)=d_{1}(1,1)+d_{2}(0,1)=(d_{1},d_{1}+d_{2}).
Isto dá d_{1}=1 e d_{2}=1. Logo a primeira coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}. S(0,1)=(1,1). Queremos (1,1)=e_{1}(1,1)+e_{2}(0,1).
Isto dá e_{1}=1 e e_{2}=0. Logo a segunda coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.