(c) Prove que os cossenos diretores de \vec{v} são as coordenadas do versor de \vec{v}, isto é, de \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que os cossenos diretores de \vec{v} são as coordenadas do versor de \vec{v}, isto é, do vetor \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.\n
Informações dadas e objetos que podemos usar sem pedir nada mais:
\vec{v} é um vetor em \mathbb{R}^n com coordenadas \vec{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n).\n
Os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos que \vec{v} faz com os eixos coordenados (ou com os vetores da base canônica \vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n).\n
O versor de \vec{v} é o vetor \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} (vetor com norma 1 que tem a mesma direção de \vec{v}).\n
A missão: mostrar, passo a passo, que cada cosseno diretor coincide com a correspondente coordenada de \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.

Passo 2

Definição clara e simples do que são os cossenos diretores para usar na prova.\n
Se \alpha_i é o ângulo entre \vec{v} e o vetor da base canônica \vec{e}_i (o vetor com 1 na i-ésima componente e 0 nas outras), então o i-ésimo cosseno diretor é \cos\alpha_i, isto é, o cosseno do ângulo entre \vec{v} e \vec{e}_i.

Passo 3

Recordando a fórmula fundamental que liga produto escalar e ângulo entre vetores (vamos explicar bem o que cada coisa significa):\n
Para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b} em \mathbb{R}^n o produto escalar satisfaz
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}, \|\vec{a}\| é a norma (ou comprimento) de \vec{a} e \|\vec{b}\| é a norma de \vec{b}.\n
Explicando os termos: \vec{a}\cdot\vec{b} é a soma dos produtos das componentes correspondentes quando expressos na base canônica; \|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto escalar ao par \vec{v} e \vec{e}_i:\n
O ângulo entre \vec{v} e \vec{e}_i é \alpha_i. Logo
\vec{v}\cdot\vec{e}_i=\|\vec{v}\|\,\|\vec{e}_i\|\,\cos\alpha_i.
Mas \vec{e}_i é um vetor unitário, então \|\vec{e}_i\|=1. Portanto
\vec{v}\cdot\vec{e}_i=\|\vec{v}\|\,\cos\alpha_i.

Passo 5

Agora escrevemos \vec{v} em coordenadas e usamos a definição coordenada do produto escalar.\n
Como \vec{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n) e \vec{e}_i tem todas as componentes zero exceto a i-ésima igual a 1, o produto escalar em coordenadas é
\vec{v}\cdot\vec{e}_i = v_1\cdot 0 + v_2\cdot 0 + \cdots + v_i\cdot 1 + \cdots + v_n\cdot 0 = v_i.
Portanto \vec{v}\cdot\vec{e}_i = v_i.

Passo 6

Combina os resultados dos passos anteriores para isolar \cos\alpha_i.\n
Das igualdades \vec{v}\cdot\vec{e}_i=\|\vec{v}\|\,\cos\alpha_i (Passo 4) e \vec{v}\cdot\vec{e}_i=v_i (Passo 5) obtém-se
v_i=\|\vec{v}\|\,\cos\alpha_i.
Isolando \cos\alpha_i vem
\cos\alpha_i=\frac{v_i}{\|\vec{v}\|}.

Passo 7

Interpretação final em termos do versor (vetor unitário na direção de \vec{v}).\n
O versor de \vec{v} é \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}. As suas componentes são
\frac{v_1}{\|\vec{v}\|},\\ \frac{v_2}{\|\vec{v}\|},\\ \dots,\\ \frac{v_n}{\|\vec{v}\|}.
Pelo resultado do Passo 6, cada componente \dfrac{v_i}{\|\vec{v}\|} coincide com \cos\alpha_i. Portanto, em forma vetorial,
\big(\cos\alpha_1,\cos\alpha_2,\dots,\cos\alpha_n\big)=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
Isto é exatamente a afirmação pedida: os cossenos diretores são as coordenadas do versor de \vec{v}.

Passo 8

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (para te dar confiança na prova):\n
Toma \vec{v}=(2,3,6) em \mathbb{R}^3. A norma é \|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7. O versor é \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\big(\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7}\big).\n
Então os cossenos diretores são \cos\alpha_1=\tfrac{2}{7}, \cos\alpha_2=\tfrac{3}{7}, \cos\alpha_3=\tfrac{6}{7}, exatamente as componentes do versor. Viu como bate certinho? Respira, tá certo.

Resposta

\big(\cos\alpha_1,\cos\alpha_2,\dots,\cos\alpha_n\big)=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}

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