(c) Prove que os cossenos diretores de
são as coordenadas do versor de
, isto é, de
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que os cossenos diretores de
são as coordenadas do versor de
, isto é, do vetor
.\n
Informações dadas e objetos que podemos usar sem pedir nada mais:
é um vetor em
com coordenadas
.\n
Os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos que faz com os eixos coordenados (ou com os vetores da base canônica
).\n
O versor de é o vetor
(vetor com norma
que tem a mesma direção de
).\n
A missão: mostrar, passo a passo, que cada cosseno diretor coincide com a correspondente coordenada de .
Informações dadas e objetos que podemos usar sem pedir nada mais:
Os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos que
O versor de
A missão: mostrar, passo a passo, que cada cosseno diretor coincide com a correspondente coordenada de
Passo 2
Definição clara e simples do que são os cossenos diretores para usar na prova.\n
Se é o ângulo entre
e o vetor da base canônica
(o vetor com
na
-ésima componente e
nas outras), então o
-ésimo cosseno diretor é
, isto é, o cosseno do ângulo entre
e
.
Se
Passo 3
Recordando a fórmula fundamental que liga produto escalar e ângulo entre vetores (vamos explicar bem o que cada coisa significa):\n
Para quaisquer vetores e
em
o produto escalar satisfaz
Para quaisquer vetores
onde
é o ângulo entre
e
,
é a norma (ou comprimento) de
e
é a norma de
.\n
Explicando os termos: é a soma dos produtos das componentes correspondentes quando expressos na base canônica;
.
Explicando os termos:
Passo 4
Aplicando a fórmula do produto escalar ao par
e
:\n
O ângulo entre e
é
. Logo
O ângulo entre
Mas
é um vetor unitário, então
. Portanto
Passo 5
Agora escrevemos
em coordenadas e usamos a definição coordenada do produto escalar.\n
Como e
tem todas as componentes zero exceto a
-ésima igual a
, o produto escalar em coordenadas é
Como
Portanto
.
Passo 6
Combina os resultados dos passos anteriores para isolar
.\n
Das igualdades (Passo 4) e
(Passo 5) obtém-se
Das igualdades
Isolando
vem
Passo 7
Interpretação final em termos do versor (vetor unitário na direção de
).\n
O versor de é
. As suas componentes são
O versor de
Pelo resultado do Passo 6, cada componente
coincide com
. Portanto, em forma vetorial,
Isto é exatamente a afirmação pedida: os cossenos diretores são as coordenadas do versor de
.
Passo 8
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (para te dar confiança na prova):\n
Toma em
. A norma é
. O versor é
.\n
Então os cossenos diretores são ,
,
, exatamente as componentes do versor. Viu como bate certinho? Respira, tá certo.
Toma
Então os cossenos diretores são