(a) Se C é o segmento de reta ligando o ponto \left(x_{1}, y_{1}\right) ao ponto \left(x_{2}, y_{2}\right), mostre que
\int_{C} x d y-y d x=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}
(b) Se os vértices de um polígono, em sentido anti-horário, são \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right) mostre que a área do polígono é
\begin{aligned} A=\frac{1}{2}[( & \left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right)+\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}\right)+\cdots \\\ & \left.+\left(x_{n-1} y_{n}-x_{n} y_{n-1}\right)+\left(x_{n} y_{1}-x_{1} y_{n}\right)\right] \end{aligned}
(c) Encontre a área do pentágono com vértices (0,0),(2,1),(1, 3),(0,2) e (-1,1).

Passo 1

O enunciado faz três pedidos separados:
  • (a) Mostrar que, se C é o segmento de reta que une \left(x_{1},y_{1}\right) a \left(x_{2},y_{2}\right), então
\int_{C} x\,dy - y\,dx = x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.
  • (b) Mostrar que, se os vértices de um polígono são, em sentido anti-horário,
    \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\ldots,\left(x_{n},y_{n}\right),
    então a área do polígono é
A=\frac{1}{2}\Bigl[(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+\cdots+(x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n})\Bigr].
  • (c) Calcular a área do pentágono com vértices (0,0),(2,1),(1,3),(0,2),(-1,1) (assumindo que estão listados no sentido anti-horário, conforme o enunciado do item (b)).
Informações relevantes dadas:
  • Para (a) temos apenas dois pontos e que C é o segmento de reta que os une.
  • Para (b) a ordem dos vértices é anti-horária (sentido positivo da fronteira).
  • Para (c) são fornecidos os cinco vértices em sequência.

Passo 2

Resolução de (a): parametrização do segmento de reta e cálculo direto da integral.
Primeiro, vamos lembrar como parametrizar um segmento de reta entre dois pontos. Se uma curva C é o segmento que une \left(x_{1},y_{1}\right) a \left(x_{2},y_{2}\right), uma parametrização natural é
x(t)=x_{1}+(x_{2}-x_{1})t,\qquad y(t)=y_{1}+(y_{2}-y_{1})t,
com t variando em [0,1]. Aqui:
  • x(t) é a abscissa do ponto na curva quando o parâmetro vale t.
  • y(t) é a ordenada do ponto na curva quando o parâmetro vale t.
  • Quando t=0 obtemos (x_{1},y_{1}) e quando t=1 obtemos (x_{2},y_{2}).
Calculamos as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt}=x_{2}-x_{1}=\Delta x,\qquad \frac{dy}{dt}=y_{2}-y_{1}=\Delta y.
Então dx=\Delta x\,dt e dy=\Delta y\,dt.
Agora escrevemos o integrando x\,dy - y\,dx em termos de t:
x(t)\,dy - y(t)\,dx = \bigl(x_{1}+\Delta x\,t\bigr)\Delta y\,dt - \bigl(y_{1}+\Delta y\,t\bigr)\Delta x\,dt.
Abrindo os termos:
x(t)\,dy - y(t)\,dx = \bigl(x_{1}\Delta y - y_{1}\Delta x\bigr)\,dt + \bigl(\Delta x\Delta y - \Delta y\Delta x\bigr)\,t\,dt.
Note que \Delta x\Delta y - \Delta y\Delta x = 0, então o segundo termo some. Assim
x(t)\,dy - y(t)\,dx = \bigl(x_{1}\Delta y - y_{1}\Delta x\bigr)\,dt.
Integramos de t=0 a t=1:
\int_{C} x\,dy - y\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(x_{1}\Delta y - y_{1}\Delta x\bigr)\,dt = \bigl(x_{1}\Delta y - y_{1}\Delta x\bigr)\int_{0}^{1} dt.
A integral de dt de 0 a 1 vale 1, então
\int_{C} x\,dy - y\,dx = x_{1}\bigl(y_{2}-y_{1}\bigr) - y_{1}\bigl(x_{2}-x_{1}\bigr).
Distribuindo e cancelando termos semelhantes obtemos
\int_{C} x\,dy - y\,dx = x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},
que é exatamente o que se pedia.
Comentário didático curto: essa forma x\,dy - y\,dx é a expressão de uma integral de linha que, sobre um segmento reto, reduz-se a uma combinação simples dos pontos finais porque os termos dependentes de t se cancelam.

Passo 3

Resolução de (b): usar a relação entre integral de contorno e área (teorema de Green) e aplicar (a) em cada aresta.
Vamos primeiro apresentar e explicar o teorema que vamos usar. O teorema de Green (caso plano) diz o seguinte: se D é uma região do plano com fronteira orientada positivamente (anti-horário) e essa fronteira é a curva simples fechada C, então para funções P(x,y) e Q(x,y) com derivadas parciais contínuas vale
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Interpretação das quantidades:
  • \oint_{C} é a integral de linha ao longo da fronteira C orientada anti-horário.
  • dA é o elemento de área no plano.
  • A diferença \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} é o rotacional escalar (em 2D) do campo vetorial (P,Q).
Escolhemos P(x,y)=-y e Q(x,y)=x. Então:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial(-y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.
Aplicando Green:
\oint_{C} (-y)\,dx + x\,dy = \iint_{D} 2\,dA = 2\cdot \text{Area}(D).
Rearranjando,
\text{Area}(D)=\frac{1}{2}\oint_{C} \bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).
Portanto a área de uma região plana D cujo contorno C é percorrido no sentido anti-horário pode ser obtida pela integral de contorno de x\,dy-y\,dx, multiplicada por 1/2.

Passo 4

Aplicar o resultado do passo anterior ao polígono e usar (a) para computar a integral como soma de contribuições das arestas.
Se o polígono tem vértices \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\ldots,\left(x_{n},y_{n}\right) percorridos em sentido anti-horário, sua fronteira C é a união dos segmentos C_{1} entre 1 e 2, C_{2} entre 2 e 3, …, C_{n} entre n e 1. A integral de contorno se decompõe:
\oint_{C} x\,dy - y\,dx = \sum_{k=1}^{n} \int_{C_{k}} x\,dy - y\,dx.
Pelo resultado do item (a), cada integral ao longo do segmento que liga (x_{k},y_{k}) a (x_{k+1},y_{k+1}) (onde por convenção x_{n+1}=x_{1}, y_{n+1}=y_{1}) vale
\int_{C_{k}} x\,dy - y\,dx = x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k}.
Somando todos:
\oint_{C} x\,dy - y\,dx = \sum_{k=1}^{n} \bigl(x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k}\bigr).
Então, usando a relação da etapa anterior para a área,
A=\frac{1}{2}\oint_{C} \bigl(x\,dy - y\,dx\bigr) =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \bigl(x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k}\bigr),
o que é exatamente a fórmula pedida. Observação prática (útil para prova): essa soma é frequentemente chamada de “fórmula do polígono” ou “shoelace formula” — se os vértices estiverem no sentido horário o valor fornecido será negativo, então toma-se o valor absoluto; no enunciado foi garantido que a ordem é anti-horária, portanto o valor é positivo.

Passo 5

Resolução de (c): aplicar a fórmula ao pentágono dado.
Listamos os vértices na ordem fornecida (assumida anti-horária):
\begin{aligned} (x_{1},y_{1})&=(0,0),\\\ (x_{2},y_{2})&=(2,1),\\\ (x_{3},y_{3})&=(1,3),\\\ (x_{4},y_{4})&=(0,2),\\\ (x_{5},y_{5})&=(-1,1). \end{aligned}
Vamos calcular cada termo \,x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k}\, com a convenção x_{6}=x_{1},y_{6}=y_{1}.
  1. k=1:
x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} = 0\cdot1 - 2\cdot0 = 0.
  1. k=2:
x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2} = 2\cdot3 - 1\cdot1 = 6-1 = 5.
  1. k=3:
x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3} = 1\cdot2 - 0\cdot3 = 2 - 0 = 2.
  1. k=4:
x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4} = 0\cdot1 - (-1)\cdot2 = 0 + 2 = 2.
  1. k=5 (retorno ao vértice 1):
x_{5}y_{1}-x_{1}y_{5} = (-1)\cdot0 - 0\cdot1 = 0.
Somando todos os termos:
\sum_{k=1}^{5} \bigl(x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k}\bigr) = 0+5+2+2+0 = 9.
Finalmente a área é metade dessa soma:
A=\frac{1}{2}\cdot 9 = \frac{9}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{C} x\,dy - y\,dx = x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}
(b) \displaystyle A=\frac{1}{2}\Bigl[(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+\cdots+(x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n})\Bigr]
(c) \displaystyle A=\frac{9}{2}

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