(a) Se
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
, mostre que
(b) Se os vértices de um polígono, em sentido anti-horário, são
mostre que a área do polígono é
(c) Encontre a área do pentágono com vértices
,
e
.
Passo 1
O enunciado faz três pedidos separados:
- (a) Mostrar que, se
é o segmento de reta que une a , então
- (b) Mostrar que, se os vértices de um polígono são, em sentido anti-horário,
,
então a área do polígono é
- (c) Calcular a área do pentágono com vértices
(assumindo que estão listados no sentido anti-horário, conforme o enunciado do item (b)).
Informações relevantes dadas:
- Para (a) temos apenas dois pontos e que
é o segmento de reta que os une. - Para (b) a ordem dos vértices é anti-horária (sentido positivo da fronteira).
- Para (c) são fornecidos os cinco vértices em sequência.
Passo 2
Resolução de (a): parametrização do segmento de reta e cálculo direto da integral.
Primeiro, vamos lembrar como parametrizar um segmento de reta entre dois pontos. Se uma curva
é o segmento que une
a
, uma parametrização natural é
com
variando em
. Aqui:
-
é a abscissa do ponto na curva quando o parâmetro vale . -
é a ordenada do ponto na curva quando o parâmetro vale . - Quando
obtemos e quando obtemos .
Calculamos as derivadas em relação a
:
Então
e
.
Agora escrevemos o integrando
em termos de
:
Abrindo os termos:
Note que
, então o segundo termo some. Assim
Integramos de
a
:
A integral de
de
a
vale
, então
Distribuindo e cancelando termos semelhantes obtemos
que é exatamente o que se pedia.
Comentário didático curto: essa forma
é a expressão de uma integral de linha que, sobre um segmento reto, reduz-se a uma combinação simples dos pontos finais porque os termos dependentes de
se cancelam.
Passo 3
Resolução de (b): usar a relação entre integral de contorno e área (teorema de Green) e aplicar (a) em cada aresta.
Vamos primeiro apresentar e explicar o teorema que vamos usar. O teorema de Green (caso plano) diz o seguinte: se
é uma região do plano com fronteira orientada positivamente (anti-horário) e essa fronteira é a curva simples fechada
, então para funções
e
com derivadas parciais contínuas vale
Interpretação das quantidades:
-
é a integral de linha ao longo da fronteira orientada anti-horário. -
é o elemento de área no plano. - A diferença
é o rotacional escalar (em 2D) do campo vetorial .
Escolhemos
e
. Então:
Aplicando Green:
Rearranjando,
Portanto a área de uma região plana
cujo contorno
é percorrido no sentido anti-horário pode ser obtida pela integral de contorno de
, multiplicada por
.
Passo 4
Aplicar o resultado do passo anterior ao polígono e usar (a) para computar a integral como soma de contribuições das arestas.
Se o polígono tem vértices
percorridos em sentido anti-horário, sua fronteira
é a união dos segmentos
entre
e
,
entre
e
, …,
entre
e
. A integral de contorno se decompõe:
Pelo resultado do item (a), cada integral ao longo do segmento que liga
a
(onde por convenção
,
) vale
Somando todos:
Então, usando a relação da etapa anterior para a área,
o que é exatamente a fórmula pedida. Observação prática (útil para prova): essa soma é frequentemente chamada de “fórmula do polígono” ou “shoelace formula” — se os vértices estiverem no sentido horário o valor fornecido será negativo, então toma-se o valor absoluto; no enunciado foi garantido que a ordem é anti-horária, portanto o valor é positivo.
Passo 5
Resolução de (c): aplicar a fórmula ao pentágono dado.
Listamos os vértices na ordem fornecida (assumida anti-horária):
Vamos calcular cada termo
com a convenção
.
-
:
-
:
-
:
-
:
-
(retorno ao vértice 1):
Somando todos os termos:
Finalmente a área é metade dessa soma:
Resposta
(a)
(b)
(c)