Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.
C é a elipse 4 x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para “verificar o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla”. As informações fornecidas são:
  • A curva C é a elipse \;4x^{2}+y^{2}=4\;.
  • Não foi fornecido o campo vetorial \mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y)) cujo trabalho ao longo de C deve ser comparado com a integral dupla do rotacional.
O que exatamente é pedido:
  • Calcular a integral de linha \displaystyle\oint_{C} P\,dx + Q\,dy.
  • Calcular a integral dupla \displaystyle\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA, onde D é a região interior à elipse.
  • Verificar que os dois resultados coincidem (Teorema de Green).
Informações que faltam e que impedem o cálculo numérico:
  • O enunciado não fornece as funções P(x,y) e Q(x,y). Sem P e Q não é possível calcular explicitamente nem a integral de linha nem a integral dupla.
  • A orientação de C também não foi especificada; pela convenção do Teorema de Green usa-se a orientação positiva (contrária ao sentido horário, isto é, no sentido anti-horário). Vou assumir essa orientação positiva se for necessário prosseguir.

Passo 2

O que é o Teorema de Green (explicação didática)
  • O Teorema de Green relaciona a integral de linha de um campo no plano ao fluxo do seu rotacional sobre a região interna. Em forma usual:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde
  • \mathbf{F}=(P,Q) é um campo vetorial com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D;
  • C é a fronteira positiva (anti-horária) de uma região simplesmente conexa D.
  • Intuição curta e útil: o membro direito mede a “circulação local” (rotacional) espalhada por D; o membro esquerdo mede a circulação total ao redor da fronteira. Somando as circulações locais obtém-se a circulação total.
O que precisarás saber para aplicar na prova (passo a passo prático):
  1. Parametrizar C com orientação positiva.
  2. Calcular dx e dy a partir da parametrização.
  3. Calcular a integral de linha \int (P\,dx + Q\,dy) substituindo x(t),y(t).
  4. Calcular o rotacional \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}.
  5. Integrar esse rotacional sobre D; se D for elipse, usar mudança de variáveis para um disco unitário para facilitar a integração.
  6. Comparar os dois resultados.

Passo 3

Parametrização da elipse e expressão geral da integral de linha
  • A elipse dada é \;4x^{2}+y^{2}=4\;. Dividindo ambos os lados por 4 obtemos
\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1,
logo os semi-eixos são a=1 (no eixo x) e b=2 (no eixo y).
  • Parametrização com orientação positiva (anti-horária):
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
  • Derivadas:
\frac{dx}{dt}=-\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=2\cos t.
  • Fórmula da integral de linha em parametrização:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \int_{0}^{2\pi} \bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Portanto, dado P e Q basta substituir \;x=\cos t,\;y=2\sin t\; e integrar de 0 a 2\pi.

Passo 4

Cálculo da integral dupla: mudança de variáveis para a região interior da elipse
  • A região D é o interior da elipse \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}\le 1.
  • Uma mudança de variáveis útil é escalar o eixo y: defina
u=x,\qquad v=\frac{y}{2}.
Então a elipse transforma-se no disco unitário u^{2}+v^{2}\le 1.
  • Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y)=(u,2v):
\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\det\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=2.
Logo dx\,dy = 2\,du\,dv.
  • Em coordenadas polares no plano (u,v):
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,\qquad r\in[0,1],\\ \theta\in[0,2\pi],
e du\,dv = r\,dr\,d\theta. Assim
dx\,dy = 2r\,dr\,d\theta.
  • A integral dupla do rotacional fica então (após substituir x=u,\;y=2v nas derivadas):
\iint_{D} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\bigl(u,2v\bigr)\,2r\,dr\,d\theta.
  • Conclusão prática: para calcular a integral dupla com CAS faça:
    1. Compute simbolicamente \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}.
    2. Substitua x=u=r\cos\theta e y=2v=2r\sin\theta.
    3. Multiplique por 2r (jacobiano).
    4. Integre r de 0 a 1 e \theta de 0 a 2\pi.]

Passo 5

Como usar um sistema de computação algébrica (ex.: SymPy, Mathematica, Maple) — roteiro prático
  • Rotina geral (pseudocódigo comentado):
    • Definir símbolos \;x,y,t,r,\theta\;.
    • Declarar P(x,y) e Q(x,y) (essas funções precisam ser fornecidas).
    • Para integral de linha:
      • definir x(t)=\cos t,\;y(t)=2\sin t;
      • calcular dx/dt e dy/dt;
      • formar a expressão I_{\text{linha}}(t)=P(x(t),y(t))*x'(t) + Q(x(t),y(t))*y'(t);
      • integrar I_{\text{linha}}(t) com t de 0 a 2\pi.
    • Para integral dupla:
      • calcular rot = \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y;
      • substituir x = r\cos\theta,\; y = 2r\sin\theta em rot;
      • formar I_{\text{dupla}}(r,\theta)= rot(r,\theta) * 2r;
      • integrar I_{\text{dupla}} com r de 0 a 1 e \theta de 0 a 2\pi.
    • Comparar I_{\text{linha}} e I_{\text{dupla}}.
  • Observação importante: sem as expressões de P e Q o CAS não conseguirá produzir os valores numéricos/simbólicos finais.

Passo 6

Demonstração completa com um exemplo concreto (ilustrativo)
  • Para tornar tudo bem concreto — e mostrar o cálculo passo a passo que podes reproduzir no computador — vou escolher um campo simples como exemplo (isto é apenas uma ilustração, não é o campo pedido no teu enunciado, porque esse não foi fornecido):
    • Considere \displaystyle P(x,y)=-y,\qquad Q(x,y)=x.
  • Primeiro calculemos o rotacional:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(x) - \frac{\partial}{\partial y}(-y) = 1 - (-1) = 2.
  • Integral dupla sobre D:
    • A área da elipse com semi-eixos a=1 e b=2 é \pi ab=\pi\cdot1\cdot2=2\pi.
    • Assim
    \iint_{D} 2\,dA = 2\cdot \text{Area}(D) = 2\cdot 2\pi = 4\pi.
    • Ou, usando a mudança para r,\theta: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 2\cdot 2r\,dr\,d\theta = 4\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta = 4 \cdot \pi = 4\pi.
  • Integral de linha pela parametrização:
    • Substitua x=\cos t,\; y=2\sin t em P\,dx+Q\,dy:
    P\,dx+Q\,dy = (-y)\,dx + x\,dy.
    • Com dx=-\sin t\,dt e dy=2\cos t\,dt:
    (-y)\,dx + x\,dy = (-2\sin t)(-\sin t\,dt) + (\cos t)(2\cos t\,dt) = 2\sin^{2}t\,dt + 2\cos^{2}t\,dt = 2\,dt.
    • Integrando t de 0 a 2\pi:
    \oint_{C} P\,dx+Q\,dy = \int_{0}^{2\pi} 2\,dt = 4\pi.
  • Conclusão do exemplo: os dois valores coincidem, 4\pi, confirmando o Teorema de Green para este campo específico. No CAS esse cálculo é simples e direto.

Passo 7

Resposta ao exercício original e instruções finais
  • Resumindo: para verificar o Teorema de Green exatamente para a curva \;4x^{2}+y^{2}=4\; é necessário conhecer o campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q). Sem P e Q não é possível calcular numericamente nem a integral de linha nem a integral dupla nem concluir a verificação solicitada.
Se quiser, faço o seguinte (escolhe uma opção):
  • Você me envia as funções P(x,y) e Q(x,y) e eu executo aqui, passo a passo, os cálculos simbólicos (como no exemplo) e mostro o resultado;
  • Ou eu executo para qualquer campo de exemplo que você queira ver em detalhe (como fiz com P=-y,\;Q=x) para treinar o procedimento.
Força — dá pra resolver rapidinho assim que você mandar P e Q!

Resposta

Não é possível verificar: o campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) não foi fornecido, logo não há como calcular a integral de linha nem a integral dupla pedidas.

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