Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla. C é a elipse 4 x^{2}+y^{2}=4
Passo 1
O enunciado pede para “verificar o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla”. As informações fornecidas são:
A curva C é a elipse \;4x^{2}+y^{2}=4\;.
Não foi fornecido o campo vetorial \mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y)) cujo trabalho ao longo de C deve ser comparado com a integral dupla do rotacional.
O que exatamente é pedido:
Calcular a integral de linha \displaystyle\oint_{C} P\,dx + Q\,dy.
Calcular a integral dupla \displaystyle\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA, onde D é a região interior à elipse.
Verificar que os dois resultados coincidem (Teorema de Green).
Informações que faltam e que impedem o cálculo numérico:
O enunciado não fornece as funções P(x,y) e Q(x,y). Sem P e Q não é possível calcular explicitamente nem a integral de linha nem a integral dupla.
A orientação de C também não foi especificada; pela convenção do Teorema de Green usa-se a orientação positiva (contrária ao sentido horário, isto é, no sentido anti-horário). Vou assumir essa orientação positiva se for necessário prosseguir.
Passo 2
O que é o Teorema de Green (explicação didática)
O Teorema de Green relaciona a integral de linha de um campo no plano ao fluxo do seu rotacional sobre a região interna. Em forma usual:
\mathbf{F}=(P,Q) é um campo vetorial com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D;
C é a fronteira positiva (anti-horária) de uma região simplesmente conexa D.
Intuição curta e útil: o membro direito mede a “circulação local” (rotacional) espalhada por D; o membro esquerdo mede a circulação total ao redor da fronteira. Somando as circulações locais obtém-se a circulação total.
O que precisarás saber para aplicar na prova (passo a passo prático):
Parametrizar C com orientação positiva.
Calcular dx e dy a partir da parametrização.
Calcular a integral de linha \int (P\,dx + Q\,dy) substituindo x(t),y(t).
Calcular o rotacional \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}.
Integrar esse rotacional sobre D; se D for elipse, usar mudança de variáveis para um disco unitário para facilitar a integração.
Comparar os dois resultados.
Passo 3
Parametrização da elipse e expressão geral da integral de linha
A elipse dada é \;4x^{2}+y^{2}=4\;. Dividindo ambos os lados por 4 obtemos
\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1,
logo os semi-eixos são a=1 (no eixo x) e b=2 (no eixo y).
Parametrização com orientação positiva (anti-horária):
integrar I_{\text{dupla}} com r de 0 a 1 e \theta de 0 a 2\pi.
Comparar I_{\text{linha}} e I_{\text{dupla}}.
Observação importante: sem as expressões de P e Q o CAS não conseguirá produzir os valores numéricos/simbólicos finais.
Passo 6
Demonstração completa com um exemplo concreto (ilustrativo)
Para tornar tudo bem concreto — e mostrar o cálculo passo a passo que podes reproduzir no computador — vou escolher um campo simples como exemplo (isto é apenas uma ilustração, não é o campo pedido no teu enunciado, porque esse não foi fornecido):
Conclusão do exemplo: os dois valores coincidem, 4\pi, confirmando o Teorema de Green para este campo específico. No CAS esse cálculo é simples e direto.
Passo 7
Resposta ao exercício original e instruções finais
Resumindo: para verificar o Teorema de Green exatamente para a curva \;4x^{2}+y^{2}=4\; é necessário conhecer o campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q). Sem P e Q não é possível calcular numericamente nem a integral de linha nem a integral dupla nem concluir a verificação solicitada.
Se quiser, faço o seguinte (escolhe uma opção):
Você me envia as funções P(x,y) e Q(x,y) e eu executo aqui, passo a passo, os cálculos simbólicos (como no exemplo) e mostro o resultado;
Ou eu executo para qualquer campo de exemplo que você queira ver em detalhe (como fiz com P=-y,\;Q=x) para treinar o procedimento.
Força — dá pra resolver rapidinho assim que você mandar P e Q!
Resposta
Não é possível verificar: o campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) não foi fornecido, logo não há como calcular a integral de linha nem a integral dupla pedidas.