Use o teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
é o triângulo de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedido: calcular
usando o Teorema de Green (verificar orientação de antes). - Informação sobre a curva
: é o triângulo descrito pelos vértices , percorrido nessa ordem. - Informação faltante e crítica: o enunciado NÃO fornece explicitamente o campo vetorial
. Sem saber não é possível obter um valor numérico do integral de linha.
Observação: a partir daqui vou explicar passo a passo como proceder com Green sefosse dada, mostrando também como verificar a orientação e montando a integral dupla. No final afirmarei por que não posso dar um número final por falta de .
Passo 2
Verificar a orientação da curva
(passagem dos vértices na ordem dada):
- Usamos a regra do polígono (shoelace) ou simplesmente observamos a ordem dos pontos
. - Calculemos a soma dirigida para determinar o sinal da área: seja a sequência
, , . A soma com cíclico dá
- Como o resultado é negativo, a orientação dada é horário (clockwise). Para aplicar o Teorema de Green na sua forma padrão precisamos de orientação positiva (contrário ao sentido horário, i.e., anti-horário). Portanto haverá um sinal de menos se aplicarmos Green diretamente com a orientação dada.
Passo 3
Enunciado do Teorema de Green e explicação (aulas rápidas):
- Suponha
com com derivadas parciais contínuas numa região que contém , a região interior de . - Teorema de Green (forma pauta): se
é a fronteira positiva (anti-horária) de , então
- Explicação dos termos:
-
é a componente de (ou seja ). -
é a componente de . -
é a derivada parcial de em relação a ; é a derivada parcial de em relação a . -
é o elemento de área (pense em ).
-
- Como a orientação do enunciado é horário, a relação correta para essa orientação é
(Esses sinais precisam ser rigorosos na prova — se a orientação for invertida, troca-se o sinal.)
Passo 4
Descrever a região
(o interior do triângulo) e estabelecer os limites de integração:
- A aresta que liga
a tem equação da reta obtida por dois pontos: a inclinação é , então a reta é
- O triângulo
pode ser descrito por
Isto significa que para cada
entre
e
,
vai de
até
. Essa descrição é conveniente para montar uma integral dupla em ordem
.
Passo 5
Montagem da integral dupla usando Green (forma final que você deve usar na prova):
- Se
for conhecida, então, devido à orientação horário dada, o integral pedido é
- Procedimento prático passo a passo (o que você fará em prova):
- Identifique
e da dada. - Calcule
e . - Forme a função
. - Integre
primeiro em de até , depois em de até . - Multiplique o resultado por
(porque a orientação dada é horário).
- Identifique
- Assim você transforma o integral de linha em uma integral dupla que normalmente é muito mais fácil de calcular.
Passo 6
Exemplo concreto (para fixar a técnica): escolha
.
- Calcule as parciais:
, . Então o integrando é . - Integral dupla (lembrando o sinal menos pela orientação horário):
- Calcule a integral interna em
:
- Simplificando e integrando em
de a (passos algébricos mostrados a risco reduzido aqui) chega-se ao valor da integral dupla igual a . Aplicando o sinal menos pelo sentido horário, obtém-se
- Comentário: esse exemplo é só para treinar os passos; o valor
é especificamente para esse escolhido.
Passo 7
Conclusão final para o enunciado original:
- Como o campo vetorial
não foi fornecido no enunciado, NÃO é possível calcular um valor numérico para . - O que foi feito aqui foi:
- verificar que a orientação dada é horário (logo há um sinal negativo ao aplicar Green);
- determinar a região
e os limites de integração ; - escrever a fórmula pronta que você deve usar na prova:
onde
.
- Se você me der
(ou se na prova estiver explícito), com esses passos você resolve rapidinho.
Resposta
Não é possível calcular um valor numérico porque o campo vetorial
não foi fornecido.