Use o teorema de Green para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
C é o triângulo de (0,0) \mathrm{a}(0,4) \mathrm{a}(2,0) \mathrm{a}(0,0)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedido: calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} usando o Teorema de Green (verificar orientação de C antes).
  • Informação sobre a curva C: é o triângulo descrito pelos vértices (0,0)\to(0,4)\to(2,0)\to(0,0), percorrido nessa ordem.
  • Informação faltante e crítica: o enunciado NÃO fornece explicitamente o campo vetorial \mathbf{F}. Sem saber \mathbf{F}=(P,Q) não é possível obter um valor numérico do integral de linha.
    Observação: a partir daqui vou explicar passo a passo como proceder com Green se \mathbf{F} fosse dada, mostrando também como verificar a orientação e montando a integral dupla. No final afirmarei por que não posso dar um número final por falta de \mathbf{F}.

Passo 2

Verificar a orientação da curva C (passagem dos vértices na ordem dada):
  • Usamos a regra do polígono (shoelace) ou simplesmente observamos a ordem dos pontos (0,0)\to(0,4)\to(2,0).
  • Calculemos a soma dirigida para determinar o sinal da área: seja a sequência (x_1,y_1)=(0,0), (x_2,y_2)=(0,4), (x_3,y_3)=(2,0). A soma \sum (x_i y_{i+1}-x_{i+1}y_i) com i cíclico dá
0\cdot4-0\cdot0 \;+\; 0\cdot0-2\cdot4 \;+\; 2\cdot0-0\cdot0 \;=\; -8.
  • Como o resultado é negativo, a orientação dada é horário (clockwise). Para aplicar o Teorema de Green na sua forma padrão precisamos de orientação positiva (contrário ao sentido horário, i.e., anti-horário). Portanto haverá um sinal de menos se aplicarmos Green diretamente com a orientação dada.

Passo 3

Enunciado do Teorema de Green e explicação (aulas rápidas):
  • Suponha \mathbf{F}=(P(x,y),\,Q(x,y)) com P,Q com derivadas parciais contínuas numa região que contém D, a região interior de C.
  • Teorema de Green (forma pauta): se C é a fronteira positiva (anti-horária) de D, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • Explicação dos termos:
    • P(x,y) é a componente x de \mathbf{F} (ou seja \mathbf{F}=(P,Q)).
    • Q(x,y) é a componente y de \mathbf{F}.
    • \dfrac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x; \dfrac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
    • dA é o elemento de área (pense em dA=dx\,dy).
  • Como a orientação do enunciado é horário, a relação correta para essa orientação é
\oint_{C_{\text{horário}}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; -\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.á
(Esses sinais precisam ser rigorosos na prova — se a orientação for invertida, troca-se o sinal.)

Passo 4

Descrever a região D (o interior do triângulo) e estabelecer os limites de integração:
  • A aresta que liga (0,4) a (2,0) tem equação da reta obtida por dois pontos: a inclinação é \dfrac{0-4}{2-0}=-2, então a reta é
y=-2x+4.
  • O triângulo D pode ser descrito por
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\\\ 0\le y\le -2x+4\}.
Isto significa que para cada x entre 0 e 2, y vai de 0 até -2x+4. Essa descrição é conveniente para montar uma integral dupla em ordem dy\,dx.

Passo 5

Montagem da integral dupla usando Green (forma final que você deve usar na prova):
  • Se \mathbf{F}=(P,Q) for conhecida, então, devido à orientação horário dada, o integral pedido é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; - \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{-2x+4}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dy\,dx.
  • Procedimento prático passo a passo (o que você fará em prova):
    1. Identifique P(x,y) e Q(x,y) da \mathbf{F} dada.
    2. Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}.
    3. Forme a função f(x,y)=\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}.
    4. Integre f(x,y) primeiro em y de 0 até -2x+4, depois em x de 0 até 2.
    5. Multiplique o resultado por -1 (porque a orientação dada é horário).
  • Assim você transforma o integral de linha em uma integral dupla que normalmente é muito mais fácil de calcular.

Passo 6

Exemplo concreto (para fixar a técnica): escolha \mathbf{F}=(P,Q)=(x^{2}y,\;x y^{2}).
  • Calcule as parciais: \dfrac{\partial Q}{\partial x}=y^{2}, \dfrac{\partial P}{\partial y}=x^{2}. Então o integrando é y^{2}-x^{2}.
  • Integral dupla (lembrando o sinal menos pela orientação horário):
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\int_{0}^{2}\int_{0}^{-2x+4}\left(y^{2}-x^{2}\right)\,dy\,dx.
  • Calcule a integral interna em y:
\int_{0}^{-2x+4}\left(y^{2}-x^{2}\right)\,dy = \left[\tfrac{1}{3}y^{3}-x^{2}y\right]_{0}^{-2x+4} = \tfrac{1}{3}(4-2x)^{3}-x^{2}(4-2x).
  • Simplificando e integrando em x de 0 a 2 (passos algébricos mostrados a risco reduzido aqui) chega-se ao valor da integral dupla igual a 8. Aplicando o sinal menos pelo sentido horário, obtém-se
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -8.
  • Comentário: esse exemplo é só para treinar os passos; o valor -8 é especificamente para esse \mathbf{F} escolhido.

Passo 7

Conclusão final para o enunciado original:
  • Como o campo vetorial \mathbf{F} não foi fornecido no enunciado, NÃO é possível calcular um valor numérico para \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • O que foi feito aqui foi:
    • verificar que a orientação dada é horário (logo há um sinal negativo ao aplicar Green);
    • determinar a região D e os limites de integração \{0\le x\le2,\\\ 0\le y\le -2x+4\};
    • escrever a fórmula pronta que você deve usar na prova:
\boxed{\displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = - \int_{0}^{2}\int_{0}^{-2x+4}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dy\,dx,}
onde \mathbf{F}=(P,Q).
  • Se você me der \mathbf{F} (ou se na prova \mathbf{F} estiver explícito), com esses passos você resolve rapidinho.

Resposta

Não é possível calcular um valor numérico porque o campo vetorial \mathbf{F} não foi fornecido.

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