Questão 3. (2,0)\) Considere a função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \[f(x)= \begin{cases}x^{2} \ln (|x|) & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{cases}
Mostre qual a classe (\mathcal{C}^{n}] máxima a qual pertence esta função.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) \[f(x)=\begin{cases} x^{2}\ln(|x|), & \text{se } x\neq0,\\[4pt] 0, & \text{se } x=0, \end{cases}
e pede a classe \mathcal{C}^{n}\] máxima a que \(f pertence (isto é, o maior n tal que f\in\mathcal{C}^{n}(\mathbb{R})).
Informações importantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de f para x\neq0.
  • O valor definido em x=0 (que pode ser um ponto de falta de suavidade).
    A tarefa é verificar diferenciabilidade e continuidade das derivadas em 0 (pois em x\neq0 a função é tão suave quanto quisermos).]

Passo 2

Verificar continuidade de f em 0. Mostrarei que \lim_{x\to0}x^{2}\ln(|x|)=0, assim f é contínua em 0.
Explicação didática da ideia do limite: para x>0 escrevemos x=e^{-t} com t=-\ln x\to+\infty quando x\to0^{+}. Então
x^{2}\ln x = e^{-2t}(-t) = -t e^{-2t}.
Como a função exponencial domina polinômios, -t e^{-2t}\to0 quando t\to+\infty. Logo \lim_{x\to0^{+}}x^{2}\ln x=0. Para x<0 usamos |x| no lugar de x e obtemos o mesmo resultado. Portanto
\lim_{x\to0}x^{2}\ln(|x|)=0=f(0),
ou seja, f é contínua em 0.
Observação didática extra: uma forma alternativa é usar que para qualquer \alpha>0 vale \lim_{x\to0}x^{\alpha}\ln|x|=0; aqui \alpha=2.

Passo 3

Calcular f'(0) pela definição de derivada e mostrar que existe.
Definição usada: f'(0)=\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\dfrac{x^{2}\ln|x|}{x} (para x\neq0). Simplificando,
\frac{f(x)-f(0)}{x} = x\ln|x|.
Agora examinamos \lim_{x\to0}x\ln|x|. Usando a mesma ideia do passo anterior (substituir x=e^{-t}), temos x\ln|x| \sim -t e^{-t}\to0. Assim
f'(0)=\lim_{x\to0}x\ln|x|=0.
Portanto f é diferenciável em 0 e f'(0)=0.
Comentário pedagógico: é importante usar a definição da derivada no ponto crítico 0; não adianta só derivar a expressão válida para x\neq0.

Passo 4

Calcular f'(x) para x\neq0 (derivação clássica) e escrever a expressão que vale fora de 0.
Para x\neq0, f(x)=x^{2}\ln|x| é produto de x^{2} e \ln|x|. A derivada de \ln|x| para x\neq0 é 1/x. Aplicando regra do produto:
f'(x)=2x\ln|x| + x,\qquad x\neq0.
(Determinamos cada termo: derivada de x^{2} é 2x multiplicada por \ln|x|, mais x^{2} vezes derivada de \ln|x|, que é x^{2}\cdot(1/x)=x.)

Passo 5

Verificar continuidade de f' em 0. Já temos f'(0)=0 do Passo 3 e f'(x)=2x\ln|x|+x para x\neq0. Calculemos o limite:
\lim_{x\to0}f'(x)=\lim_{x\to0}\bigl(2x\ln|x|+x\bigr).
Sabemos que 2x\ln|x|\to0 (mesma razão do passo 3) e x\to0; portanto o limite é 0. Como o limite coincide com f'(0), a derivada é contínua em 0. Conclusão parcial: f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}).
Comentário didático: para ser \mathcal{C}^{1} precisa que f seja diferenciável em todo lugar e que f' seja contínua — verificamos ambos pontos.

Passo 6

Estudar a segunda derivada para x\neq0 e verificar comportamento perto de 0.
Para x\neq0 derivamos f'(x)=2x\ln|x|+x. Aplicando regra do produto novamente,
f''(x)=2\ln|x|+2\cdot x\cdot\frac{1}{x} + 1 = 2\ln|x| + 2 + 1 = 2\ln|x| + 3,\qquad x\neq0.

Passo 7

Verificar existência de f''(0). Usamos a definição:
f''(0)=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x}.
Sabemos f'(0)=0 e f'(x)=2x\ln|x|+x, então
\frac{f'(x)-f'(0)}{x} = \frac{2x\ln|x|+x}{x} = 2\ln|x|+1.
Tomando limite x\to0:
\lim_{x\to0}\bigl(2\ln|x|+1\bigr) = -\infty,
ou seja, não existe limite finito. Portanto f''(0) não existe como número real; em particular a segunda derivada não existe em 0.
Outra forma de ver: do Passo 6, f''(x)=2\ln|x|+3 para x\neq0 e \lim_{x\to0}f''(x)=-\infty, logo não há como atribuir um valor finito em 0 que torne f'' contínua ou mesmo existente.

Passo 8

Conclusão final e interpretação: vimos que
  • f é contínua em \mathbb{R} e diferenciável em \mathbb{R} com f'(0)=0.
  • f' é contínua em \mathbb{R}, logo f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}).
  • A segunda derivada em 0 não existe (tende a -\infty), logo f\notin\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}).
Portanto a classe \mathcal{C}^{n} máxima é \mathcal{C}^{1}.

Resposta

\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R})

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