Questão 3.
Mostre qual a classe (\mathcal{C}^{n}] máxima a qual pertence esta função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a classe
pertence (isto é, o maior
tal que
).
Informações importantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
para . - O valor definido em
(que pode ser um ponto de falta de suavidade).
A tarefa é verificar diferenciabilidade e continuidade das derivadas em(pois em a função é tão suave quanto quisermos).]
Passo 2
Verificar continuidade de
em
. Mostrarei que
, assim
é contínua em
.
Explicação didática da ideia do limite: para
escrevemos
com
quando
. Então
Como a função exponencial domina polinômios,
quando
. Logo
. Para
usamos
no lugar de
e obtemos o mesmo resultado. Portanto
ou seja,
é contínua em
.
Observação didática extra: uma forma alternativa é usar que para qualquer
vale
; aqui
.
Passo 3
Calcular
pela definição de derivada e mostrar que existe.
Definição usada:
(para
). Simplificando,
Agora examinamos
. Usando a mesma ideia do passo anterior (substituir
), temos
. Assim
Portanto
é diferenciável em
e
.
Comentário pedagógico: é importante usar a definição da derivada no ponto crítico
; não adianta só derivar a expressão válida para
.
Passo 4
Calcular
para
(derivação clássica) e escrever a expressão que vale fora de
.
Para
,
é produto de
e
. A derivada de
para
é
. Aplicando regra do produto:
(Determinamos cada termo: derivada de
é
multiplicada por
, mais
vezes derivada de
, que é
.)
Passo 5
Verificar continuidade de
em
. Já temos
do Passo 3 e
para
. Calculemos o limite:
Sabemos que
(mesma razão do passo 3) e
; portanto o limite é
. Como o limite coincide com
, a derivada é contínua em
. Conclusão parcial:
.
Comentário didático: para ser
precisa que
seja diferenciável em todo lugar e que
seja contínua — verificamos ambos pontos.
Passo 6
Estudar a segunda derivada para
e verificar comportamento perto de
.
Para
derivamos
. Aplicando regra do produto novamente,
Passo 7
Verificar existência de
. Usamos a definição:
Sabemos
e
, então
Tomando limite
:
ou seja, não existe limite finito. Portanto
não existe como número real; em particular a segunda derivada não existe em
.
Outra forma de ver: do Passo 6,
para
e
, logo não há como atribuir um valor finito em
que torne
contínua ou mesmo existente.
Passo 8
Conclusão final e interpretação: vimos que
-
é contínua em e diferenciável em com . -
é contínua em , logo . - A segunda derivada em
não existe (tende a ), logo .
Portanto a classe
máxima é
.