(A^c)^c=A ; A subset B se e somente se B^c subset A^c.

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um exercício de teoria de conjuntos. Precisamos provar duas coisas:
  1. Que o complemento do complemento de um conjunto é ele mesmo, isto é
(A^c)^c = A
  1. Que se e somente se .
Para isso, vamos usar:
  • Definição de complemento: .
  • Definição de subconjunto: significa “para todo , se então ”.
  • Prova por elemento: mostrar inclusão de conjuntos testando um elemento genérico.
  • O princípio da contrapositiva: “ ” é equivalente a “ ”.

Passo 2

Provar . Vamos mostrar que cada lado está contido no outro:
  1. ”: seja .
    • Por definição, significa .
    • Mas “ ” equivale a “ ”.
      Logo, . Isso prova .
  2. ”: seja .
    • Então, claro, .
    • Logo .
      Assim .
Como ambos os lados se incluem, temos .

Passo 3

Provar .
Se , então todo está em . A gente usa a contrapositiva:
  • A definição direta seria “pegar um , ou seja, , e mostrar que ”.
  • Mas como diz “se então ”, o contraposso é “se então ”.
    Logo, um (isto é ) implica , que é o mesmo que .
    Portanto .

Passo 4

Provar .
Agora o pedido “se então ” pode vir também de uma contrapositiva:
  • diz “se então ”, i.e. “se então ”.
  • O contraposso disso é “se então ”, que é justamente .

Resposta

Mostramos que
  1. .
  2. se e somente se .

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