se e somente se
.
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é um exercício de teoria de conjuntos. Precisamos provar duas coisas:
- Que o complemento do complemento de um conjunto é ele mesmo, isto é
- Que
se e somente se .
Para isso, vamos usar:
- Definição de complemento:
. - Definição de subconjunto:
significa “para todo , se então ”. - Prova por elemento: mostrar inclusão de conjuntos testando um elemento genérico.
- O princípio da contrapositiva: “
” é equivalente a “ ”.
Passo 2
Provar
. Vamos mostrar que cada lado está contido no outro:
-
“
”: seja . - Por definição,
significa . - Mas “
” equivale a “ ”.
Logo,. Isso prova .
- Por definição,
-
“
”: seja . - Então, claro,
. - Logo
.
Assim.
- Então, claro,
Como ambos os lados se incluem, temos
.
Passo 3
Provar
.
Se
, então todo
está em
. A gente usa a contrapositiva:
- A definição direta seria “pegar um
, ou seja, , e mostrar que ”. - Mas como
diz “se então ”, o contraposso é “se então ”.
Logo, um(isto é ) implica , que é o mesmo que .
Portanto.
Passo 4
Provar
.
Agora o pedido “se
então
” pode vir também de uma contrapositiva:
-
diz “se então ”, i.e. “se então ”. - O contraposso disso é “se
então ”, que é justamente .
Resposta
Mostramos que
-
. -
se e somente se .