Para todo conjunto
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Para todo conjunto
, temos
Isso é teoria de conjuntos básica: união, interseção e o papel do conjunto vazio. Para provar, a gente vai usar a definição de união e interseção em termos de elementos.
Passo 2
Provar
.
- Lado “
”: seja . - Por definição de união, isso significa
ou . - Mas
não tem elemento nenhum, então a única opção é . - Logo
.
- Por definição de união, isso significa
- Lado “
”: seja . - A definição de união também diz que todo elemento de
está em . - Logo
.
Como mostramos as duas inclusões, concluímos.
- A definição de união também diz que todo elemento de
Passo 3
Provar
.
- Lado “
”: seja . - Por definição de interseção, isso significa
e . - Mas não existe
. Isso gera contradição, logo não há nenhum satisfazendo isso. - Então não existe elemento em
, ou seja, é vazio.
- Por definição de interseção, isso significa
- Lado “
”: para provar que basta ver que todo elemento de (não há nenhum) está em . Isso é verdade “automaticamente” porque não temos que verificar nada.
Juntando,
.