Para todo conjunto A subset Omega, A cup phi=A, A cap phi=phi.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Para todo conjunto A cup varnothing = A e A cap varnothing = varnothing , temos
Isso é teoria de conjuntos básica: união, interseção e o papel do conjunto vazio. Para provar, a gente vai usar a definição de união e interseção em termos de elementos.

Passo 2

Provar .
  1. Lado “ ”: seja .
    • Por definição de união, isso significa ou .
    • Mas não tem elemento nenhum, então a única opção é .
    • Logo .
  2. Lado “ ”: seja .
    • A definição de união também diz que todo elemento de está em .
    • Logo .
      Como mostramos as duas inclusões, concluímos .

Passo 3

Provar .
  1. Lado “ ”: seja .
    • Por definição de interseção, isso significa e .
    • Mas não existe . Isso gera contradição, logo não há nenhum satisfazendo isso.
    • Então não existe elemento em , ou seja, é vazio.
  2. Lado “ ”: para provar que basta ver que todo elemento de (não há nenhum) está em . Isso é verdade “automaticamente” porque não temos que verificar nada.
Juntando, .

Resposta

A cup varnothing = A e A cap varnothing = varnothing

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