se e somente se
.
Passo 1
Beleza, olha só o que a gente tem aqui:
Enunciado: “Provar que
se e somente se
.”
Enunciado: “Provar que
se e somente se
Conteúdo da matéria: teoria de conjuntos – mais precisamente a definição de subconjunto e intersecção, além do critério de igualdade entre dois conjuntos.
O que vamos precisar:
- Definição de subconjunto:
- Definição de intersecção:
- Fato sobre igualdade de conjuntos:
se e somente se e .
A estratégia é provar a bicondicional em dois pedaços:
Passo 2
Provar
.
-
Primeiro, mostro sempre que
: - Pegue um elemento qualquer
. - Por definição de intersecção,
e . - Então, em especial,
. - Isso vale para todo
, logo .
- Pegue um elemento qualquer
-
Agora mostro
usando a hipótese : - Pegue
. - Como
, temos . - Então
está em e em , ou seja, . - Concluímos
.
- Pegue
Juntando as duas inclusões,
Passo 3
Provar
.
- Suponha que
. - Pegue um
. - Como
, esse também pertence a . - Logo, por definição de intersecção,
. - Isso vale para todo
, portanto , que é justamente .
Resposta
Prova completa: mostramos as duas impicações, então está estabelecido que