A subset B se e somente se A cap B=A.

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem aqui:
Enunciado: “Provar que
A subset B Long<=ftrightarrow forall x,(x in A implies x in B)
se e somente se
A cap B = ,x mid x in A land x in B .”
Conteúdo da matéria: teoria de conjuntos – mais precisamente a definição de subconjunto e intersecção, além do critério de igualdade entre dois conjuntos.
O que vamos precisar:
  • Definição de subconjunto:
  • Definição de intersecção:
  • Fato sobre igualdade de conjuntos: se e somente se e .
A estratégia é provar a bicondicional em dois pedaços:

Passo 2

Provar A cap B subset A e A subset A cap B Longrightarrow A cap B = A .
  1. Primeiro, mostro sempre que :
    • Pegue um elemento qualquer .
    • Por definição de intersecção, e .
    • Então, em especial, .
    • Isso vale para todo , logo .
  2. Agora mostro usando a hipótese :
    • Pegue .
    • Como , temos .
    • Então está em e em , ou seja, .
    • Concluímos .
Juntando as duas inclusões,

Passo 3

Provar .
  • Suponha que .
  • Pegue um .
  • Como , esse também pertence a .
  • Logo, por definição de intersecção, .
  • Isso vale para todo , portanto , que é justamente .

Resposta

Prova completa: mostramos as duas impicações, então está estabelecido que
A subset B Long<=ftrightarrow A cap B = A

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