Prove que a igualdade de conjuntos satisfaz as seguintes propriedades:
i) forall A, A=A.

Passo 1

Tranquilo, amigo! O enunciado pede: “Prove que para todo conjunto A = B se, e somente se, A subseteq B ;land; B subseteq A vale X subseteq Y Long<=ftrightarrow forall x,(xin X to xin Y) .”
Matéria: Teoria de Conjuntos – propriedade de reflexividade da igualdade.
O que vamos usar:
  1. Definição de igualdade de conjuntos:
  2. Definição de inclusão:

Passo 2

Começando a prova de verdade: queremos mostrar que, para um conjunto arbitrário A = A ,
Pelo que vimos, basta provar duas coisas:
(i)
(ii)
sendo que os dois itens são idênticos – é a tal da reflexividade.

Passo 3

Prova de :
  1. Seja um elemento qualquer.
  2. Suponha .
  3. Mas aí, calma: já é justamente a condição para dizer “ ”.
  4. Logo, a partir de concluímos .
  5. Como isso vale para todo , temos .
  6. Então .

Passo 4

A outra inclusão é exatamente igual:
Repetindo os mesmos passos, mostramos de novo que .
Não tem mistério, é a mesma justificativa.

Resposta

Portanto, juntando (i) e (ii), concluímos que
A = A,
isto é, a igualdade de conjuntos é reflexiva.

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