Prove que a igualdade de conjuntos satisfaz as seguintes propriedades:
i)
.
i)
Passo 1
Tranquilo, amigo! O enunciado pede: “Prove que para todo conjunto
vale
.”
Matéria: Teoria de Conjuntos – propriedade de reflexividade da igualdade.
O que vamos usar:
Matéria: Teoria de Conjuntos – propriedade de reflexividade da igualdade.
O que vamos usar:
- Definição de igualdade de conjuntos:
- Definição de inclusão:
Passo 2
Começando a prova de verdade: queremos mostrar que, para um conjunto arbitrário
,
Pelo que vimos, basta provar duas coisas:
(i)
(ii)
sendo que os dois itens são idênticos – é a tal da reflexividade.
(i)
(ii)
sendo que os dois itens são idênticos – é a tal da reflexividade.
Passo 3
Prova de
:
- Seja
um elemento qualquer. - Suponha
. - Mas aí, calma:
já é justamente a condição para dizer “ ”. - Logo, a partir de
concluímos . - Como isso vale para todo
, temos . - Então
.
Passo 4
A outra inclusão é exatamente igual:
Repetindo os mesmos passos, mostramos de novo que .
Não tem mistério, é a mesma justificativa.
Repetindo os mesmos passos, mostramos de novo que
Não tem mistério, é a mesma justificativa.
Resposta
Portanto, juntando (i) e (ii), concluímos que
isto é, a igualdade de conjuntos é reflexiva.