Sabendo que
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está na área de Probabilidade e Estatística. Temos várias variáveis aleatórias com distribuições diferentes e precisamos verificar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
Para resolver isso, vamos precisar entender as distribuições de $ W $, $ Y $, $ X $ e $ Z $, e calcular suas esperanças e probabilidades correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada variável aleatória:
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$ X \sim U[1, ···, n] $: $ X $ é uma variável aleatória uniforme discreta de 1 a $ n $. Isso significa que cada valor entre 1 e $ n $ tem a mesma probabilidade de ocorrer.
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$ Y \sim \operatorname{Ber}(\hat{p}) $: $ Y $ é uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro $ \hat{p} $, ou seja, $ Y $ pode ser 0 ou 1 com probabilidades $ 1 - \hat{p} $ e $ \hat{p} $, respectivamente.
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$ Z \sim \operatorname{Bin}(n, \tilde{p}) $: $ Z $ é uma variável aleatória binomial com $ n $ tentativas e probabilidade de sucesso $ \tilde{p} $ em cada tentativa.
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$ W \sim \operatorname{Geo}(\hat{p}) $: $ W $ é uma variável aleatória geométrica com parâmetro $ \hat{p} $, representando o número de tentativas até o primeiro sucesso.
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$ S \sim \operatorname{Poisson}(n \tilde{p}) $: $ S $ é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro $ n \tilde{p} $.
Também sabemos que:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das partes da igualdade que queremos verificar:
- $ E(W) $: A esperança de uma variável geométrica $ W $ com parâmetro $ \hat{p} $ é dada por:
- $ P(Y=0) $: A probabilidade de $ Y $ ser 0 em uma distribuição de Bernoulli é:
- $ P(X=1) $: Como $ X $ é uniforme de 1 a $ n $, a probabilidade de $ X $ ser qualquer valor específico, incluindo 1, é:
- $ E(Z) $: A esperança de uma variável binomial $ Z $ com parâmetros $ n $ e $ \tilde{p} $ é:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na igualdade que queremos verificar:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Passo 5
Vamos simplificar o lado esquerdo:
Então, a igualdade que queremos verificar fica:
Passo 6
Para essa igualdade ser verdadeira, precisaríamos que:
Mas sabemos que:
Portanto, $ \hat{p} $ não pode ser 1, já que então $ \tilde{p} $ seria 0, o que violaria $ \hat{p} \neq \tilde{p} $.
Resposta
Falsa (F).