c X sim U[1, ldots, n], Y sim Ber(p), Z sim Bin(n, tildep) W sim Geo(p), k=0,1,2, ldots e S sim Poisson(n tildep)
Sabendo que
p+tildep=1 e p neq tildep
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
E(W) cdot P(Y=0)=P(X=1) cdot E(Z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está na área de Probabilidade e Estatística. Temos várias variáveis aleatórias com distribuições diferentes e precisamos verificar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
E(W) cdot P(Y=0) = P(X=1) cdot E(Z)
Para resolver isso, vamos precisar entender as distribuições de $ W $, $ Y $, $ X $ e $ Z $, e calcular suas esperanças e probabilidades correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada variável aleatória:
  • $ X \sim U[1, ···, n] $: $ X $ é uma variável aleatória uniforme discreta de 1 a $ n $. Isso significa que cada valor entre 1 e $ n $ tem a mesma probabilidade de ocorrer.
  • $ Y \sim \operatorname{Ber}(\hat{p}) $: $ Y $ é uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro $ \hat{p} $, ou seja, $ Y $ pode ser 0 ou 1 com probabilidades $ 1 - \hat{p} $ e $ \hat{p} $, respectivamente.
  • $ Z \sim \operatorname{Bin}(n, \tilde{p}) $: $ Z $ é uma variável aleatória binomial com $ n $ tentativas e probabilidade de sucesso $ \tilde{p} $ em cada tentativa.
  • $ W \sim \operatorname{Geo}(\hat{p}) $: $ W $ é uma variável aleatória geométrica com parâmetro $ \hat{p} $, representando o número de tentativas até o primeiro sucesso.
  • $ S \sim \operatorname{Poisson}(n \tilde{p}) $: $ S $ é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro $ n \tilde{p} $.
Também sabemos que:
X sim U[1, ldots, n]

Passo 3

Vamos calcular cada uma das partes da igualdade que queremos verificar:
  1. $ E(W) $: A esperança de uma variável geométrica $ W $ com parâmetro $ \hat{p} $ é dada por:
E(W)
  1. $ P(Y=0) $: A probabilidade de $ Y $ ser 0 em uma distribuição de Bernoulli é:
W
  1. $ P(X=1) $: Como $ X $ é uniforme de 1 a $ n $, a probabilidade de $ X $ ser qualquer valor específico, incluindo 1, é:
p
  1. $ E(Z) $: A esperança de uma variável binomial $ Z $ com parâmetros $ n $ e $ \tilde{p} $ é:
E(W) = 1p

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na igualdade que queremos verificar:
Do lado esquerdo:
E(W) cdot P(Y=0) = 1p cdot (1 - p)
Do lado direito:
P(X=1) cdot E(Z) = 1n cdot (n tildep) = tildep

Passo 5

Vamos simplificar o lado esquerdo:
1p cdot (1 - p) = 1 - pp = tildepp (pois tildep = 1 - p )
Então, a igualdade que queremos verificar fica:
tildepp = tildep

Passo 6

Para essa igualdade ser verdadeira, precisaríamos que:
tildepp = tildep implies 1p = 1 implies p = 1
Mas sabemos que:
p + tildep = 1 e p neq tildep
Portanto, $ \hat{p} $ não pode ser 1, já que então $ \tilde{p} $ seria 0, o que violaria $ \hat{p} \neq \tilde{p} $.

Resposta

Falsa (F).

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