Sabendo que
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve várias distribuições de probabilidade, como a uniforme, Bernoulli, binomial, geométrica e Poisson. O que a questão está pedindo é pra gente verificar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
Aqui, $ W $ segue uma distribuição geométrica com parâmetro $ \hat{p} $. A gente vai precisar entender como calcular as probabilidades para diferentes valores de $ W $ e também a variância dessa distribuição para comparar com a expressão dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da distribuição Geométrica. A distribuição geométrica modela o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes.
A função de probabilidade para $ W $ em uma distribuição geométrica com parâmetro $ \hat{p} $ é:
Aqui, $ k $ representa o número de falhas antes do primeiro sucesso.
Passo 3
Vamos calcular as probabilidades necessárias:
- Probabilidade de $ W = 0 $:
- Probabilidade de $ W = 1 $:
- Probabilidade de $ W = 3 $:
Agora, substituindo esses valores na expressão dada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância $ V(W) $ da distribuição geométrica. A fórmula da variância para uma variável aleatória geométrica é:
Passo 5
Vamos comparar a expressão que obtivemos com a variância:
Para que a igualdade seja verdadeira, teríamos:
Multiplicando ambos os lados por $ \hat{p}^2 (1 - \hat{p})^2 $ para eliminar os denominadores:
Isso só seria verdadeiro se $ \hat{p} = 1 - \hat{p} $, ou seja, $ \hat{p} = 0,5 $. No entanto, a condição dada é que $ \hat{p} + \tilde{p} = 1 $ e $ \hat{p} \neq \tilde{p} $, o que implica que $ \hat{p} \neq 0,5 $.
Resposta
F