c X sim U[1, ldots, n], Y sim Ber(p), Z sim Bin(n, tildep) W sim Geo(p), k=0,1,2, ldots e S sim Poisson(n tildep)
Sabendo que
p+tildep=1 e p neq tildep
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
P(W=0) cdot P(W=1)P(W=3)=V(W)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve várias distribuições de probabilidade, como a uniforme, Bernoulli, binomial, geométrica e Poisson. O que a questão está pedindo é pra gente verificar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
P(W=0) cdot P(W=1)P(W=3) = V(W)
Aqui, $ W $ segue uma distribuição geométrica com parâmetro $ \hat{p} $. A gente vai precisar entender como calcular as probabilidades para diferentes valores de $ W $ e também a variância dessa distribuição para comparar com a expressão dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da distribuição Geométrica. A distribuição geométrica modela o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes.
A função de probabilidade para $ W $ em uma distribuição geométrica com parâmetro $ \hat{p} $ é:
W
Aqui, $ k $ representa o número de falhas antes do primeiro sucesso.

Passo 3

Vamos calcular as probabilidades necessárias:
  1. Probabilidade de $ W = 0 $:
W = 0
  1. Probabilidade de $ W = 1 $:
P(W=0) = (1 - p)^0 cdot p = 1 cdot p = p
  1. Probabilidade de $ W = 3 $:
W = 1
Agora, substituindo esses valores na expressão dada:
P(W=1) = (1 - p)^1 cdot p = (1 - p) cdot p
Simplificando:
W = 3

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância $ V(W) $ da distribuição geométrica. A fórmula da variância para uma variável aleatória geométrica é:
V(W)

Passo 5

Vamos comparar a expressão que obtivemos com a variância:
p(1 - p)^2 vs 1 - pp^2
Para que a igualdade seja verdadeira, teríamos:
p(1 - p)^2 = 1 - pp^2
Multiplicando ambos os lados por $ \hat{p}^2 (1 - \hat{p})^2 $ para eliminar os denominadores:
p^2 (1 - p)^2
p cdot p^2 = (1 - p) cdot (1 - p)^2
Isso só seria verdadeiro se $ \hat{p} = 1 - \hat{p} $, ou seja, $ \hat{p} = 0,5 $. No entanto, a condição dada é que $ \hat{p} + \tilde{p} = 1 $ e $ \hat{p} \neq \tilde{p} $, o que implica que $ \hat{p} \neq 0,5 $.

Resposta

F

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