(C5661) Ao projetar uma rampa de acessibilidade para a entrada de um hospital, um arquiteto definiu que a estrutura terá um comprimento total de 12 metros e formará um ângulo de inclinação de 30^{\circ} com o solo horizontal. Para finalizar o projeto estrutural, ele precisa determinar a medida da altura " x " do ponto mais alto da rampa em relação ao nível do chão.
Considere para este cálculo:
\operatorname{sen} 30^{\circ}=0,5
\cos 30^{\circ}=0,86
\tan 30^{\circ}=0,57
As dimensões da rampa e a relação trigonométrica do seno para o ângulo de 30^{\circ}, o valor da altura " x ", em metros, corresponde a
A) 0,5 \mathrm{~m}.
B) 4,0 \mathrm{~m}.
C) 5,0 \mathrm{~m}.
D) 5,7 \mathrm{~m}.
E) 6,0 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede a medida da altura:
  • Comprimento total da rampa (hipotenusa): \,12\\ \text{m}.
  • A rampa forma um ângulo de \,30^\circ com o solo horizontal.
  • Valores trigonométricos fornecidos: \sin 30^\circ = 0,5, \cos 30^\circ = 0,86, \tan 30^\circ = 0,57.
    O que se pede: determinar a altura \,x do ponto mais alto da rampa em relação ao nível do chão (ou seja, o cateto oposto ao ângulo de \,30^\circ).

Passo 2

Visualização e identificação dos lados do triângulo retângulo:
  • A rampa é a hipotenusa do triângulo, de comprimento \,12\\ \text{m}.
  • A altura \,x é o cateto oposto ao ângulo de \,30^\circ.
  • A base (distância horizontal) é o cateto adjacente ao ângulo de \,30^\circ.
    Então temos um triângulo retângulo com hipotenusa \,12 e cateto oposto \,x.

Passo 3

Relembrando a definição de seno (aula rápida e prática):
  • Para um ângulo \theta em um triângulo retângulo, o seno é definido por
\sin\theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
  • Aqui \theta = 30^\circ, o cateto oposto é \,x e a hipotenusa é \,12. Portanto:
\sin 30^\circ = \frac{x}{12}.
Explicando cada símbolo: \sin 30^\circ é o valor do seno do ângulo, x é a altura que queremos e 12 é a hipotenusa conhecida.

Passo 4

Aplicando o valor numérico do seno fornecido:
  • Do enunciado temos \sin 30^\circ = 0,5.
  • Substituindo em \sin 30^\circ = \dfrac{x}{12} obtemos
0,5 = \frac{x}{12}.
  • Isolando x:
x = 12 \times 0,5.

Passo 5

Cálculo numérico e interpretação:
x = 12 \times 0,5 = 6,0.
Portanto a altura é \,6,0\\ \text{m}. Isso faz sentido intuitivamente: metade da hipotenusa (porque \sin 30^\circ = 0,5) é a altura.

Resposta

E) 6,0\\ \mathrm{m}

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