(C5661) Ao projetar uma rampa de acessibilidade para a entrada de um hospital, um arquiteto definiu que a estrutura terá um comprimento total de 12 metros e formará um ângulo de inclinação de
com o solo horizontal. Para finalizar o projeto estrutural, ele precisa determinar a medida da altura "
" do ponto mais alto da rampa em relação ao nível do chão.
Considere para este cálculo:
As dimensões da rampa e a relação trigonométrica do seno para o ângulo de
, o valor da altura "
", em metros, corresponde a
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
E)
.
As dimensões da rampa e a relação trigonométrica do seno para o ângulo de
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede a medida da altura:
- Comprimento total da rampa (hipotenusa):
. - A rampa forma um ângulo de
com o solo horizontal. - Valores trigonométricos fornecidos:
, , .
O que se pede: determinar a alturado ponto mais alto da rampa em relação ao nível do chão (ou seja, o cateto oposto ao ângulo de ).
Passo 2
Visualização e identificação dos lados do triângulo retângulo:
- A rampa é a hipotenusa do triângulo, de comprimento
. - A altura
é o cateto oposto ao ângulo de . - A base (distância horizontal) é o cateto adjacente ao ângulo de
.
Então temos um triângulo retângulo com hipotenusae cateto oposto .
Passo 3
Relembrando a definição de seno (aula rápida e prática):
- Para um ângulo
em um triângulo retângulo, o seno é definido por
- Aqui
, o cateto oposto é e a hipotenusa é . Portanto:
Explicando cada símbolo:
é o valor do seno do ângulo,
é a altura que queremos e
é a hipotenusa conhecida.
Passo 4
Aplicando o valor numérico do seno fornecido:
- Do enunciado temos
. - Substituindo em
obtemos
- Isolando
:
Passo 5
Cálculo numérico e interpretação:
Portanto a altura é
. Isso faz sentido intuitivamente: metade da hipotenusa (porque
) é a altura.
Resposta
E)