(C5664) Para economizar tempo em seu trajeto diário, um pedestre decide atravessar uma praça retangular seguindo exatamente a sua diagonal, em vez de caminhar pelas calçadas laterais. A praça possui 60 metros de largura e 80 metros de comprimento. Ao optar pelo atalho na diagonal, o pedestre percorre uma distância menor do que se fizesse o contorno pelas duas calçadas laterais que formam o ângulo reto da praça.
Na aplicação do Teorema de Pitágoras, a distância total que o pedestre percorre ao utilizar o atalho pela diagonal é de
A) 20 metros.
B) 70 metros.
C) 100 metros.
D) 140 metros.
E) 200 metros.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A praça é retangular com largura 60 metros e comprimento 80 metros.
  • O pedestre decide caminhar pelo atalho que é a diagonal do retângulo, em vez de seguir as duas calçadas que formam o ângulo reto (ou seja, em vez de andar primeiro 60 m e depois 80 m).
  • Pergunta: qual é a distância total percorrida pelo pedestre quando ele usa o atalho pela diagonal?
  • As alternativas dadas são:
    A) 20 metros.
    B) 70 metros.
    C) 100 metros.
    D) 140 metros.
    E) 200 metros.

Passo 2

Entendendo a situação geométrica (sem resolver ainda): a diagonal de um retângulo forma um triângulo retângulo cujos catetos são os lados do retângulo. Ou seja, ao traçar a diagonal, obtemos um triângulo retângulo com catetos de comprimentos 60 e 80, e a diagonal é a hipotenusa desse triângulo. Portanto, precisamos calcular o comprimento da hipotenusa desse triângulo.

Passo 3

Apresentando e explicando a fórmula que vamos usar: o Teorema de Pitágoras.
  • Em um triângulo retângulo, se os comprimentos dos catetos são a e b e o comprimento da hipotenusa é c, então vale
c^{2} = a^{2} + b^{2}.
  • Aqui a e b representam os dois lados que se encontram com ângulo reto (os catetos) e c é o lado oposto ao ângulo reto (a hipotenusa).
  • O que a fórmula diz, em palavras simples: o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Isso é fácil de aplicar com números inteiros como 60 e 80.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao nosso triângulo com catetos a=60 e b=80:
c^{2} = 60^{2} + 80^{2}.
Calculemos os quadrados passo a passo:
60^{2} = 3600, \qquad 80^{2} = 6400.
Agora somamos:
c^{2} = 3600 + 6400 = 10000.

Passo 5

Encontramos c tirando a raiz quadrada de c^{2}:
c = \sqrt{10000} = 100.
Portanto, o comprimento da diagonal (o atalho percorrido pelo pedestre) é 100 metros.

Passo 6

Comentário final e comparação com o caminho pelas calçadas: se o pedestre fosse pelas duas calçadas que formam o ângulo reto ele andaria 60 + 80 = 140 metros. Observa-se que a diagonal de 100 metros é realmente menor que 140 metros, explicando a economia de tempo. (Isto também faz sentido por desigualdade triangular: a hipotenusa é sempre menor que a soma dos catetos.)

Resposta

C) 100 metros.

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