(C5664) Para economizar tempo em seu trajeto diário, um pedestre decide atravessar uma praça retangular seguindo exatamente a sua diagonal, em vez de caminhar pelas calçadas laterais. A praça possui 60 metros de largura e 80 metros de comprimento. Ao optar pelo atalho na diagonal, o pedestre percorre uma distância menor do que se fizesse o contorno pelas duas calçadas laterais que formam o ângulo reto da praça.
Na aplicação do Teorema de Pitágoras, a distância total que o pedestre percorre ao utilizar o atalho pela diagonal é de
A) 20 metros.
B) 70 metros.
C) 100 metros.
D) 140 metros.
E) 200 metros.
A) 20 metros.
B) 70 metros.
C) 100 metros.
D) 140 metros.
E) 200 metros.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A praça é retangular com largura
metros e comprimento metros. - O pedestre decide caminhar pelo atalho que é a diagonal do retângulo, em vez de seguir as duas calçadas que formam o ângulo reto (ou seja, em vez de andar primeiro
m e depois m). - Pergunta: qual é a distância total percorrida pelo pedestre quando ele usa o atalho pela diagonal?
- As alternativas dadas são:
A)metros.
B)metros.
C)metros.
D)metros.
E)metros.
Passo 2
Entendendo a situação geométrica (sem resolver ainda): a diagonal de um retângulo forma um triângulo retângulo cujos catetos são os lados do retângulo. Ou seja, ao traçar a diagonal, obtemos um triângulo retângulo com catetos de comprimentos
e
, e a diagonal é a hipotenusa desse triângulo. Portanto, precisamos calcular o comprimento da hipotenusa desse triângulo.
Passo 3
Apresentando e explicando a fórmula que vamos usar: o Teorema de Pitágoras.
- Em um triângulo retângulo, se os comprimentos dos catetos são
e e o comprimento da hipotenusa é , então vale
- Aqui
e representam os dois lados que se encontram com ângulo reto (os catetos) e é o lado oposto ao ângulo reto (a hipotenusa). - O que a fórmula diz, em palavras simples: o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Isso é fácil de aplicar com números inteiros como
e .
Passo 4
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao nosso triângulo com catetos
e
:
Calculemos os quadrados passo a passo:
Agora somamos:
Passo 5
Encontramos
tirando a raiz quadrada de
:
Portanto, o comprimento da diagonal (o atalho percorrido pelo pedestre) é
metros.
Passo 6
Comentário final e comparação com o caminho pelas calçadas: se o pedestre fosse pelas duas calçadas que formam o ângulo reto ele andaria
metros. Observa-se que a diagonal de
metros é realmente menor que
metros, explicando a economia de tempo. (Isto também faz sentido por desigualdade triangular: a hipotenusa é sempre menor que a soma dos catetos.)
Resposta
C)
metros.