Um cabo com 300 pés de extensão originalmente com 5 polegadas de diâmetro. é submerso em água do mar. Devido à corrosão. a área da superfície do cabo diminui à taxa de 1.250 polegada²/ano. Expresse o diâmetro d do cabo como uma função do tempo t (em anos).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo de 300 pés de comprimento que, inicialmente, tem 5 polegadas de diâmetro. Esse cabo foi submerso em água do mar e, por causa da corrosão, a área da superfície dele está diminuindo a uma taxa de 1.250 polegadas quadradas por ano. Nosso objetivo aqui é descobrir como o diâmetro d do cabo varia com o tempo t , ou seja, queremos uma função d(t) .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a área da superfície de um cilindro (já que o cabo é cilindrico) e como relacionar essa área com o diâmetro. Também vamos usar derivadas para entender como a área está mudando ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área da superfície de um cilindro. A fórmula é:
S = pi d L
onde:
  • S é a área da superfície,
  • d é o diâmetro,
  • L é o comprimento do cilindro.
Aqui, o comprimento L do cabo é de 300 pés, mas como a área está sendo dada em polegadas quadradas, precisamos converter o comprimento para polegadas. Sabemos que 1 pé = 12 polegadas, então:
L = 300 pés times 12 po<=gadaspé = 3600 po<=gadas éé

Passo 3

Vamos então expressar a área da superfície S em função do diâmetro d :
S = pi d times 3600 = 3600pi d
Isso nos mostra que a área da superfície é diretamente proporcional ao diâmetro do cabo.

Passo 4

A questão nos diz que a área está diminuindo a uma taxa de 1.250 polegadas quadradas por ano. Em termos matemáticos, isso é:
dSdt = -1250 , po<=gadas^2/ano
O sinal negativo indica que a área está diminuindo.

Passo 5

Vamos relacionar a taxa de variação da área com a taxa de variação do diâmetro. Diferenciando a fórmula da área em relação ao tempo t :
dSdt = 3600pi dddt
Substituindo dSdt por -1250:
-1250 = 3600pi dddt
Agora, isolamos dddt :
dddt = -12503600pi = -12503600pi
Isso nos dá a taxa de variação do diâmetro em função do tempo.

Passo 6

Agora, queremos a função d(t) . Vamos integrar dddt em relação a t :
d(t) = d0 + -12503600pi t
Onde d0 é o diâmetro inicial, que é 5 polegadas:
d(t) = 5 - 12503600pi t
Podemos simplificar a fração:
12503600 = 125360 = 2572
Então:
d(t) = 5 - 2572pi t

Resposta

A função que expressa o diâmetro d do cabo em função do tempo t é:
d(t) = 5 - 2572pi , t
Onde d(t) está em polegadas e t em anos.

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