Um cabo com 300 pés de extensão originalmente com 5 polegadas de diâmetro. é submerso em água do mar. Devido à corrosão. a área da superfície do cabo diminui à taxa de 1.250 polegada²/ano. Expresse o diâmetro
do cabo como uma função do tempo
(em anos).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo de 300 pés de comprimento que, inicialmente, tem 5 polegadas de diâmetro. Esse cabo foi submerso em água do mar e, por causa da corrosão, a área da superfície dele está diminuindo a uma taxa de 1.250 polegadas quadradas por ano. Nosso objetivo aqui é descobrir como o diâmetro
do cabo varia com o tempo
, ou seja, queremos uma função
.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a área da superfície de um cilindro (já que o cabo é cilindrico) e como relacionar essa área com o diâmetro. Também vamos usar derivadas para entender como a área está mudando ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área da superfície de um cilindro. A fórmula é:
onde:
-
é a área da superfície, -
é o diâmetro, -
é o comprimento do cilindro.
Aqui, o comprimento
do cabo é de 300 pés, mas como a área está sendo dada em polegadas quadradas, precisamos converter o comprimento para polegadas. Sabemos que 1 pé = 12 polegadas, então:
Passo 3
Vamos então expressar a área da superfície
em função do diâmetro
:
Isso nos mostra que a área da superfície é diretamente proporcional ao diâmetro do cabo.
Passo 4
A questão nos diz que a área está diminuindo a uma taxa de 1.250 polegadas quadradas por ano. Em termos matemáticos, isso é:
O sinal negativo indica que a área está diminuindo.
Passo 5
Vamos relacionar a taxa de variação da área com a taxa de variação do diâmetro. Diferenciando a fórmula da área em relação ao tempo
:
Substituindo
por -1250:
Agora, isolamos
:
Isso nos dá a taxa de variação do diâmetro em função do tempo.
Passo 6
Agora, queremos a função
. Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é o diâmetro inicial, que é 5 polegadas:
Podemos simplificar a fração:
Então:
Resposta
A função que expressa o diâmetro
do cabo em função do tempo
é:
Onde
está em polegadas e
em anos.