Sejam
e
conjuntos finitos com
e
elementos, respectivamente. Determine quantos elementos tem os seguintes conjuntos de funções:
é função injetiva })
é função injetiva })
Passo 1
O enunciado pede o número de funções injetivas
onde
e
. O conteúdo envolve contagem de funções e o princípio multiplicativo em combinatória, mais especificamente arranjos.
Passo 2
Para que exista uma função injetiva de
em
, precisamos de imagens distintas para cada elemento de
. Isso só é possível se o número de elementos de
não ultrapassar o de
, ou seja, é necessário
Se
, não há como atribuir imagens distintas e o total de funções injetivas é zero.
Passo 3
Supondo
, vamos contar quantas funções injetivas há. Enumeramos os elementos de
como
. Para definir
injetiva, escolhemos:
- para
: possibilidades de imagem em , - para
: possibilidades (não pode repetir a imagem de ), - para
: possibilidades,
··· - para
: possibilidades.
Pelo princípio multiplicativo, o total é
Passo 4
O produto acima é exatamente o número de arranjos de
elementos tomados
a
, denotado por
. Em termos de fatoriais,
Resposta
Se
, não existe função injetiva e o total é
.
Se , o número de funções injetivas é
Se