Sejam e conjuntos finitos com e elementos, respectivamente. Determine quantos elementos tem os seguintes conjuntos de funções:
é função bijetiva })

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são conjuntos finitos com lvert Xrvert = n e lvert Yrvert = m, e pede o número de funções
,f: X to Y mid f é bijetiva é
O conteúdo aqui é contar bijeções entre dois conjuntos finitos.

Passo 2

Uma bijeção existe somente se os tamanhos coincidirem, ou seja, se e somente se n = m. Se n neq m, não há como emparelhar todos os elementos de X com todos de Y de forma um-para-um, logo o conjunto de bijeções é vazio.

Passo 3

Agora suponha n = m. Para construir uma bijeção fcolon X to Y, basta escolher uma imagem em Y para cada elemento de X sem repetição. Se numerarmos arbitrariamente os elementos de X como x1,x2,dots,xn, então temos:
– para f(x1), há m opções;
– para f(x2), restam m-1 opções;
vdots
– para f(xn), sobra 1 opção.
Multiplicando as escolhas, obtemos
m times (m-1) times cdots times 1 ;=; m!

Resposta

Se n neq m, não existem bijeções e o número de tais funções é 0.
Se n = m, o número de bijeções é
n!

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