Sejam
e
conjuntos finitos com
e
elementos, respectivamente. Determine quantos elementos tem os seguintes conjuntos de funções:
é função bijetiva })
é função bijetiva })
Passo 1
O enunciado diz que
e
são conjuntos finitos com
e
, e pede o número de funções
O conteúdo aqui é contar bijeções entre dois conjuntos finitos.
Passo 2
Uma bijeção existe somente se os tamanhos coincidirem, ou seja, se e somente se
. Se
, não há como emparelhar todos os elementos de
com todos de
de forma um-para-um, logo o conjunto de bijeções é vazio.
Passo 3
Agora suponha
. Para construir uma bijeção
, basta escolher uma imagem em
para cada elemento de
sem repetição. Se numerarmos arbitrariamente os elementos de
como
, então temos:
– para , há
opções;
– para , restam
opções;
– para , sobra
opção.
Multiplicando as escolhas, obtemos
– para
– para
– para
Multiplicando as escolhas, obtemos
Resposta
Se
, não existem bijeções e o número de tais funções é
.
Se , o número de bijeções é
Se