Um cabo coaxial de 50 m de comprimento tem um condutor interno com diâmetro de \mathrm{d} 1=2,92 \mathrm{e}-03 \mathrm{~m} e carga de 81 \mathrm{e}-7 \mathrm{C}. O condutor externo tem diâmetro de d2=8,77e-03 m e carga de - 81 e-7 C. Qual a diferença de potencial elétrico entre os condutores? Considere que o espaço entre os condutores é preenchido com ar. Use k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2} e de a resposta em Volts.
Escolha uma opção:
A. nenhuma das outras
B. 3206,88
C. 2473,46
D. 1765,96

Passo 1

O enunciado pede a diferença de potencial entre os condutores de um cabo coaxial cujo condutor interno de diâmetro d_1 tem carga Q=81\times10^{-7}\,\mathrm{C} e o externo de diâmetro d_2 tem carga -Q, com comprimento L=50\,\mathrm{m}. O conteúdo é o cálculo de potencial em uma geometria cilíndrica usando o campo elétrico
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}
e a relação k=1/(4\pi\varepsilon_0).

Passo 2

Calculamos a densidade linear de carga \lambda:
\lambda = \frac{Q}{L} = \frac{81\times10^{-7}\,\mathrm{C}}{50\,\mathrm{m}} =1{,}62\times10^{-7}\,\mathrm{C/m}.

Passo 3

A diferença de potencial entre raios r_1=d_1/2 e r_2=d_2/2 é
\Delta V =V(r_1)-V(r_2) =\int_{r_1}^{r_2}E(r)\,dr =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\bigl(\tfrac{r_2}{r_1}\bigr).
Como 1/(2\pi\varepsilon_0)=2k, fica
\Delta V =2\,k\,\lambda\;\ln\!\bigl(\tfrac{r_2}{r_1}\bigr).

Passo 4

Calculamos os raios e o logaritmo:
r_1=\frac{d_1}{2}=\frac{2{,}92\times10^{-3}}{2}=1{,}46\times10^{-3}\,\mathrm{m},\quad r_2=\frac{8{,}77\times10^{-3}}{2}=4{,}385\times10^{-3}\,\mathrm{m},
\ln\!\bigl(\tfrac{r_2}{r_1}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{4{,}385\times10^{-3}}{1{,}46\times10^{-3}}\bigr) \approx1{,}0989.

Passo 5

Substituindo valores em \Delta V =2\,k\,\lambda\,\ln(r_2/r_1):
\Delta V =2\cdot9\times10^{9}\,\frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{C^2}} \cdot1{,}62\times10^{-7}\,\mathrm{C/m} \cdot1{,}0989 \approx3{,}20688\times10^{3}\,\mathrm{V}.

Resposta

B. 3206,88 V

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