Um cabo coaxial consiste em um cilindro condutor sólido interno de raio
e uma casca condutora cilíndrica externa de raio interno
e raio externo
. Existe uma corrente
para o fio interno, e uma corrente igual retorna no fio externo. As correntes são uniformes na seção reta de cada condutor. Determine o campo magnético
com justificativas, em função das variáveis do enunciado nos seguintes intervalos:
(b)
ponto)
(b)
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o campo magnético
no intervalo radial
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há um condutor interno sólido de raio
que transporta uma corrente (direção axial). - Há uma casca condutora cilíndrica externa com raio interno
e raio externo que transporta a corrente de retorno igual em módulo a , distribuída uniformemente na seção da casca (ou seja, corrente volumétrica uniforme na região radial entre e ). - As correntes são uniformes na seção reta de cada condutor.
- A variável
é a distância radial ao eixo (queremos para ).
Passo 2
Qual é a direção e que simetria podemos usar?
- Pelo formato cilíndrico e pela distribuição axial das correntes, o problema tem simetria cilíndrica: o módulo de
depende só de e as linhas de campo são círculos concêntricos ao eixo. - Portanto
é puramente azimutal, i.e. paralelo ao vetor unitário (direção determinada pela regra da mão direita aplicada à corrente).
Passo 3
Qual equação usar? (a “fórmula” chave)
- Vamos usar a Lei de Ampère no vácuo (forma integral):
onde
é a corrente total que atravessa a superfície limitada pelo caminho fechado escolhido.
- Escolho um caminho amperiano circular de raio
centrado no eixo. Por simetria tem módulo constante nesse círculo e é tangente, logo
Passo 4
Determinar
para
.
- Corrente total atravessando o círculo de raio
é a soma da corrente do condutor interno (inteira) mais a corrente da porção da casca entre e . - A corrente total na casca é
(sinal negativo porque retorna no sentido oposto ao do condutor interno). Essa corrente está distribuída uniformemente na área da seção transversal da casca, cuja área é . - A densidade de corrente (no sentido axial) na casca é, portanto,
(Aqui o sinal menos indica que a corrente da casca está no sentido oposto ao
.)
- A área da porção da casca dentro do raio
é . Logo a corrente da casca encerrada pelo raio vale
- Assim a corrente total encerrada é
Passo 5
Simplificar
.
- Faço a simplificação algébrica:
Passo 6
Aplicar Ampère e obter
.
- Pelo passo 3 temos
. Substituindo do passo 5:
- Portanto
- Lembrando a direção azimutal, o campo vetorial é:
Passo 7
Checagens rápidas (sanidade):
- Em
obtemos , que coincide com o campo vindo só do fio interno imediatamente antes de a casca começar — boa continuidade física. - Em
obtemos e, portanto, , o que faz sentido porque toda a corrente foi compensada pela casca até ; para o campo é nulo.