Um cabo coaxial consiste em um cilindro condutor sólido interno de raio a e uma casca condutora cilíndrica externa de raio interno b e raio externo c. Existe uma corrente I para o fio interno, e uma corrente igual retorna no fio externo. As correntes são uniformes na seção reta de cada condutor. Determine o campo magnético \vec{B} com justificativas, em função das variáveis do enunciado nos seguintes intervalos:
(b) (0,5 ponto) b<r<c

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o campo magnético \vec{B} no intervalo radial b<r<c. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há um condutor interno sólido de raio a que transporta uma corrente I (direção axial).
  • Há uma casca condutora cilíndrica externa com raio interno b e raio externo c que transporta a corrente de retorno igual em módulo a I, distribuída uniformemente na seção da casca (ou seja, corrente volumétrica uniforme na região radial entre b e c).
  • As correntes são uniformes na seção reta de cada condutor.
  • A variável r é a distância radial ao eixo (queremos \vec B para b<r<c).

Passo 2

Qual é a direção e que simetria podemos usar?
  • Pelo formato cilíndrico e pela distribuição axial das correntes, o problema tem simetria cilíndrica: o módulo de \vec B depende só de r e as linhas de campo são círculos concêntricos ao eixo.
  • Portanto \vec B é puramente azimutal, i.e. paralelo ao vetor unitário \hat\varphi (direção determinada pela regra da mão direita aplicada à corrente).

Passo 3

Qual equação usar? (a “fórmula” chave)
  • Vamos usar a Lei de Ampère no vácuo (forma integral):
\oint \vec B\cdot d\vec l=\mu_{0} I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa a superfície limitada pelo caminho fechado escolhido.
  • Escolho um caminho amperiano circular de raio r centrado no eixo. Por simetria \vec B tem módulo constante nesse círculo e é tangente, logo
\oint \vec B\cdot d\vec l = B(r)\, (2\pi r).

Passo 4

Determinar I_{\text{enc}} para b<r<c.
  • Corrente total atravessando o círculo de raio r é a soma da corrente do condutor interno (inteira) mais a corrente da porção da casca entre b e r.
  • A corrente total na casca é -I (sinal negativo porque retorna no sentido oposto ao do condutor interno). Essa corrente -I está distribuída uniformemente na área da seção transversal da casca, cuja área é \pi(c^{2}-b^{2}).
  • A densidade de corrente (no sentido axial) na casca é, portanto,
\vec J_{\text{casca}} = -\frac{I}{\pi(c^{2}-b^{2})}\,\hat z.
(Aqui o sinal menos indica que a corrente da casca está no sentido oposto ao I.)
  • A área da porção da casca dentro do raio r é \pi(r^{2}-b^{2}). Logo a corrente da casca encerrada pelo raio r vale
I_{\text{casca,enc}} = J_{\text{casca}}\times \pi(r^{2}-b^{2}) = -I\frac{r^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}.
  • Assim a corrente total encerrada é
I_{\text{enc}} = I + I_{\text{casca,enc}} = I - I\frac{r^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}.

Passo 5

Simplificar I_{\text{enc}}.
  • Faço a simplificação algébrica:
I_{\text{enc}} = I\left(1-\frac{r^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}\right) = I\frac{c^{2}-r^{2}}{c^{2}-b^{2}}.

Passo 6

Aplicar Ampère e obter B(r).
  • Pelo passo 3 temos B(r)\,2\pi r=\mu_{0} I_{\text{enc}}. Substituindo I_{\text{enc}} do passo 5:
B(r)\,2\pi r=\mu_{0} I\frac{c^{2}-r^{2}}{c^{2}-b^{2}}.
  • Portanto
B(r)=\frac{\mu_{0} I}{2\pi r}\cdot\frac{c^{2}-r^{2}}{c^{2}-b^{2}}.
  • Lembrando a direção azimutal, o campo vetorial é:
\vec B(r)=\frac{\mu_{0} I}{2\pi r}\cdot\frac{c^{2}-r^{2}}{c^{2}-b^{2}}\,\hat\varphi.

Passo 7

Checagens rápidas (sanidade):
  • Em r\to b^{+} obtemos \vec B=\dfrac{\mu_{0} I}{2\pi b}\,\hat\varphi, que coincide com o campo vindo só do fio interno imediatamente antes de a casca começar — boa continuidade física.
  • Em r\to c^{-} obtemos I_{\text{enc}}\to 0 e, portanto, \vec B\to 0, o que faz sentido porque toda a corrente I foi compensada pela casca até r=c; para r>c o campo é nulo.

Resposta

\vec B(r)=\frac{\mu_{0} I}{2\pi r}\,\frac{c^{2}-r^{2}}{c^{2}-b^{2}}\,\hat\varphi\quad\text{para}\quad b<r<c.

Exercícios relacionados