(Capacitância cilíndrica - Gauss) Um capacitor coaxial tem raios a=1,0 \mathrm{~mm} \mathrm{e} b=5,0 \mathrm{~mm}, comprimento L=0,50 \mathrm{~m}, vácuo. Use a Lei de Gauss para obter C e calcule numericamente. Resposta: C= \frac{2 \pi \varepsilon_{0} L}{\ln (b / a)}=\frac{2 \pi\left(8,85 \times 10^{-12}\right)(0,50)}{\ln 5,0} \approx 1,73 \times 10^{-11} \mathrm{~F}=17,3 \mathrm{pF}.

Passo 1

O enunciado pede para obter a capacitância C de um capacitor coaxial e calcular numericamente. Dados fornecidos:
a=1{,}0\\ \mathrm{mm},\qquad b=5{,}0\\ \mathrm{mm},\qquad L=0{,}50\\ \mathrm{m},\qquad \varepsilon_0=8{,}85\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
A pergunta final é: qual é o valor de C (em farads e em picofarads)?

Passo 2

Definição de capacitância: a capacitância C entre dois condutores é a razão entre a carga no condutor e a diferença de potencial entre eles. Escrevendo isso:
C=\frac{Q}{V},
onde Q é a carga do condutor interno (módulo) e V é a diferença de potencial entre o condutor interno e o externo (módulo). Aqui Q e V são escalares positivos no sentido de módulo. Essa é a fórmula que vamos usar no final para obter C depois de calcular V em função de Q.

Passo 3

Escolha de superfície de Gauss e campo elétrico: para um capacitor coaxial simétrico usamos uma superfície cilíndrica coaxial de raio arbitrário r tal que a<r<b e comprimento L. A justificativa física é que, por simetria cilíndrica, o campo elétrico \mathbf{E} é radial, com módulo que depende só de r, e aponta para fora (se a carga no cilindro interno for positiva). A Lei de Gauss no vácuo diz:
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície gaussiana. A superfície lateral do cilindro gaussiano tem área 2\pi r L e nas tampas o campo é praticamente nulo (por simetria e por escolher L grande). Então o fluxo é E(r)\cdot 2\pi r L. Substituindo na Lei de Gauss:
E(r)\,2\pi r L=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Isolando E(r) obtemos
E(r)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\cdot\frac{1}{r},\qquad a<r<b.
Explicação curta: o campo decresce como 1/r porque a área lateral cresce como r, então para manter o fluxo proporcional à carga, E tem de ser proporcional a 1/r.

Passo 4

Calcular a diferença de potencial V entre os condutores: a diferença de potencial (módulo) entre o condutor interno (raio a) e o externo (raio b) é a integral do módulo do campo radial ao longo de r de a até b. Tomando V=\left|V(a)-V(b)\right| e lembrando que \mathbf{E} é radial, temos
V=\int_{a}^{b} E(r)\,dr.
Substituindo E(r):
V=\int_{a}^{b}\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\cdot\frac{1}{r}\,dr =\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\int_{a}^{b}\frac{1}{r}\,dr.
A integral de 1/r é o logaritmo natural, logo
V=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\left[\ln r\right]_{a}^{b} =\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Interpretação: quanto maior a razão b/a, maior o potencial necessário para colocar a mesma carga Q, logo menor a capacitância.

Passo 5

Expressão final para a capacitância: usando C=Q/V e substituindo V da etapa anterior,
C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)} =\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Aqui C tem unidades de farad porque \varepsilon_0 tem unidades \mathrm{F/m}, L é em metros e o logaritmo é adimensional. Essa é a fórmula buscada.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo: primeiro calcule a razão dos raios (observe que os raios estão em milímetros, a razão é adimensional, então a unidade cai):
\frac{b}{a}=\frac{5{,}0\\ \mathrm{mm}}{1{,}0\\ \mathrm{mm}}=5{,}0.
O logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\ln 5{,}0\approx 1{,}6094379.
Agora o numerador 2\pi\varepsilon_0 L:
2\pi\varepsilon_0 L=2\pi(8{,}85\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m})(0{,}50\\ \mathrm{m}) =\pi(8{,}85\times 10^{-12})\\ \mathrm{F}.
Calculando numericamente:
\pi(8{,}85\times 10^{-12})\approx 3{,}14159265\times 8{,}85\times 10^{-12}\approx 2{,}78\times 10^{-11}\\ \mathrm{F}.
Finalmente,
C=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}\approx\frac{2{,}78\times 10^{-11}}{1{,}6094379}\approx 1{,}73\times 10^{-11}\\ \mathrm{F}.
Convertendo para picofarads ( 1\\ \mathrm{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}):
C\approx 17{,}3\\ \mathrm{pF}.

Resposta

C=\frac{2\pi\varepsilon_{0}L}{\ln(b/a)}\approx 1{,}73\times 10^{-11}\\ \mathrm{F}=17{,}3\\ \mathrm{pF}

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