(Capacitância cilíndrica - Gauss) Um capacitor coaxial tem raios
, comprimento
, vácuo. Use a Lei de Gauss para obter
e calcule numericamente. Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede para obter a capacitância
de um capacitor coaxial e calcular numericamente. Dados fornecidos:
A pergunta final é: qual é o valor de
(em farads e em picofarads)?
Passo 2
Definição de capacitância: a capacitância
entre dois condutores é a razão entre a carga no condutor e a diferença de potencial entre eles. Escrevendo isso:
onde
é a carga do condutor interno (módulo) e
é a diferença de potencial entre o condutor interno e o externo (módulo). Aqui
e
são escalares positivos no sentido de módulo. Essa é a fórmula que vamos usar no final para obter
depois de calcular
em função de
.
Passo 3
Escolha de superfície de Gauss e campo elétrico: para um capacitor coaxial simétrico usamos uma superfície cilíndrica coaxial de raio arbitrário
tal que
e comprimento
. A justificativa física é que, por simetria cilíndrica, o campo elétrico
é radial, com módulo que depende só de
, e aponta para fora (se a carga no cilindro interno for positiva). A Lei de Gauss no vácuo diz:
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana. A superfície lateral do cilindro gaussiano tem área
e nas tampas o campo é praticamente nulo (por simetria e por escolher
grande). Então o fluxo é
. Substituindo na Lei de Gauss:
Isolando
obtemos
Explicação curta: o campo decresce como
porque a área lateral cresce como
, então para manter o fluxo proporcional à carga,
tem de ser proporcional a
.
Passo 4
Calcular a diferença de potencial
entre os condutores: a diferença de potencial (módulo) entre o condutor interno (raio
) e o externo (raio
) é a integral do módulo do campo radial ao longo de
de
até
. Tomando
e lembrando que
é radial, temos
Substituindo
:
A integral de
é o logaritmo natural, logo
Interpretação: quanto maior a razão
, maior o potencial necessário para colocar a mesma carga
, logo menor a capacitância.
Passo 5
Expressão final para a capacitância: usando
e substituindo
da etapa anterior,
Aqui
tem unidades de farad porque
tem unidades
,
é em metros e o logaritmo é adimensional. Essa é a fórmula buscada.
Passo 6
Cálculo numérico passo a passo: primeiro calcule a razão dos raios (observe que os raios estão em milímetros, a razão é adimensional, então a unidade cai):
O logaritmo natural:
Agora o numerador
:
Calculando numericamente:
Finalmente,
Convertendo para picofarads (
):