Um cabo coaxial consiste em uma superficie cilíndrica condutora muito fina, de raio
, e um cilindro maciço condutor de raio
, ambos compartilhando o mesmo eixo de simetria. A superfície condutora externa é carregada uniformemente, sendo sua densidade superficial de carga dada por
, e o condutor maciço é carregado de forma que ele se encontra em equilibrio eletrostático, e porta uma quantidade de carga por comprimento igual a
. Observe que ambos os condutores (maciço e o externo) carregam a mesma quantidade de carga por comprimento, em módulo. Quando necessário, use a Lei de Gauss para determinar o módulo do campo elétrico nas regiốes: (iii)
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo coaxial que é formado por dois condutores cilíndricos: um interno, maciço, com raio $ a $, e um externo, muito fino, com raio $ R $. O condutor externo tem uma densidade superficial de carga uniforme $ +\sigma $, e o condutor interno está carregado com uma carga por unidade de comprimento igual a $ -2\pi R \sigma $. O objetivo aqui é encontrar o módulo do campo elétrico na região onde $ r > R $, ou seja, fora do condutor externo. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de alta simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada por essa superfície dividida pela constante $ \varepsilon_0 $. Matematicamente, isso é expresso por:
Onde:
- $ \vec{E} $ é o campo elétrico,
- $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície fechada,
- $ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada para facilitar os cálculos. Como estamos lidando com simetria cilíndrica, a melhor escolha é um cilindro imaginário coaxial com o cabo, de raio $ r > R $ e comprimento $ L $. Isso simplifica o cálculo porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos à uma distância $ r $ do eixo e será perpendicular à superfície lateral do cilindro gaussiano.
Passo 4
Precisamos determinar a carga total encerrada pela nossa superfície gaussiana. O condutor interno tem uma carga por unidade de comprimento de $ -2\pi R \sigma $, e o condutor externo tem uma carga por unidade de comprimento de $ +2\pi R \sigma $ (já que a densidade superficial é $ +\sigma $ e a circunferência é $ 2\pi R $). Somando essas cargas:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Como o campo elétrico é constante em magnitude na superfície lateral do cilindro gaussiano e perpendicular a ela, o fluxo elétrico é simplesmente $ E \cdot 2\pi r L $. Então:
Dividindo ambos os lados por $ 2\pi r L $:
Resposta
O módulo do campo elétrico para $ r > R $ é zero, ou seja,