Um cabo coaxial consiste em uma superficie cilíndrica condutora muito fina, de raio
, e um cilindro maciço condutor de raio
, ambos compartilhando o mesmo eixo de simetria. A superfície condutora externa é carregada uniformemente, sendo sua densidade superficial de carga dada por
, e o condutor maciço é carregado de forma que ele se encontra em equilibrio eletrostático, e porta uma quantidade de carga por comprimento igual a
. Observe que ambos os condutores (maciço e o externo) carregam a mesma quantidade de carga por comprimento, em módulo. Quando necessário, use a Lei de Gauss para determinar o módulo do campo elétrico nas regiốes: (i) dentro do condutor maciço (em equilibrio eletrostático)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cabos coaxiais! A gente quer descobrir o campo elétrico dentro do condutor maciço quando ele está em equilíbrio eletrostático. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um cabo coaxial. Ele tem dois condutores: um cilindro interno maciço de raio
e um cilindro externo muito fino de raio
. Ambos compartilham o mesmo eixo. O condutor externo tem uma densidade superficial de carga
, e o interno tem uma carga por comprimento de
. Isso significa que a carga total por unidade de comprimento é a mesma em módulo nos dois condutores.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante permissividade do vácuo
:
Essa lei é ótima para calcular o campo elétrico quando temos simetria, como em cilindros.
Passo 4
Queremos encontrar o campo elétrico dentro do condutor maciço, ou seja, para
, onde
é a distância ao eixo do cilindro. Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica com raio
e altura
, centrada no eixo.
Passo 5
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso ocorre porque as cargas se distribuem de forma a cancelar qualquer campo interno. Então, para
:
Isso acontece porque se houvesse um campo dentro do condutor, as cargas livres moveriam-se até que o campo fosse anulado.
Resposta
O campo elétrico dentro do condutor maciço em equilíbrio eletrostático é nulo: