Um cabo coaxial consiste em uma superficie cilíndrica condutora muito fina, de raio R, e um cilindro maciço condutor de raio a, ambos compartilhando o mesmo eixo de simetria. A superfície condutora externa é carregada uniformemente, sendo sua densidade superficial de carga dada por +sigma, e o condutor maciço é carregado de forma que ele se encontra em equilibrio eletrostático, e porta uma quantidade de carga por comprimento igual a -2 pi R sigma. Observe que ambos os condutores (maciço e o externo) carregam a mesma quantidade de carga por comprimento, em módulo. Quando necessário, use a Lei de Gauss para determinar o módulo do campo elétrico nas regiốes: (ii) a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cabos coaxiais! A gente tem um cabo coaxial formado por dois cilindros condutores: um cilindro maciço de raio e uma superfície cilíndrica muito fina de raio , que compartilham o mesmo eixo. A superfície externa está carregada uniformemente com densidade de carga , e o cilindro interno tem uma carga por comprimento de . Nosso objetivo aqui é encontrar o módulo do campo elétrico na região onde , ou seja, entre o cilindro interno e a superfície externa. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Como estamos lidando com cilindros concêntricos e queremos encontrar o campo elétrico entre eles, a melhor escolha é uma superfície cilíndrica imaginária com raio que está entre e , e com comprimento . Essa escolha aproveita a simetria do problema, fazendo com que o campo elétrico seja constante ao longo da superfície gaussiana.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a carga elétrica total que está dentro da nossa superfície gaussiana. Sabemos que o cilindro interno tem uma carga por comprimento de Qenc = lambda cdot L = -2pi R sigma cdot L . Então, para um comprimento , a carga total dentro da superfície gaussiana é:

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total PhiE = Qencvarepsilon0 através da superfície gaussiana é igual à carga encerrada dividida pela constante dielétrica do vácuo PhiE = E cdot 2pi r L :
O fluxo elétrico para uma superfície cilíndrica é dado por:
onde é o módulo do campo elétrico na superfície gaussiana.

Passo 5

Igualando as duas expressões para o fluxo elétrico:
E cdot 2pi r L = -2pi R sigma Lvarepsilon0
Agora, podemos resolver para E = -2pi R sigma L2pi r L varepsilon0 = -R sigmar varepsilon0 :
E = R sigmar varepsilon0
Como estamos interessados apenas no módulo do campo elétrico, ignoramos o sinal negativo (que indica a direção do campo):

Resposta

O módulo do campo el��trico na região E = R sigmar varepsilon0 é dado por:

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