Um cabo coaxial consiste em uma superficie cilíndrica condutora muito fina, de raio
, e um cilindro maciço condutor de raio
, ambos compartilhando o mesmo eixo de simetria. A superfície condutora externa é carregada uniformemente, sendo sua densidade superficial de carga dada por
, e o condutor maciço é carregado de forma que ele se encontra em equilibrio eletrostático, e porta uma quantidade de carga por comprimento igual a
. Observe que ambos os condutores (maciço e o externo) carregam a mesma quantidade de carga por comprimento, em módulo. Quando necessário, use a Lei de Gauss para determinar o módulo do campo elétrico nas regiốes: (ii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cabos coaxiais! A gente tem um cabo coaxial formado por dois cilindros condutores: um cilindro maciço de raio
e uma superfície cilíndrica muito fina de raio
, que compartilham o mesmo eixo. A superfície externa está carregada uniformemente com densidade de carga
, e o cilindro interno tem uma carga por comprimento de
. Nosso objetivo aqui é encontrar o módulo do campo elétrico na região onde
, ou seja, entre o cilindro interno e a superfície externa. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Como estamos lidando com cilindros concêntricos e queremos encontrar o campo elétrico entre eles, a melhor escolha é uma superfície cilíndrica imaginária com raio
que está entre
e
, e com comprimento
. Essa escolha aproveita a simetria do problema, fazendo com que o campo elétrico seja constante ao longo da superfície gaussiana.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a carga elétrica total que está dentro da nossa superfície gaussiana. Sabemos que o cilindro interno tem uma carga por comprimento de
. Então, para um comprimento
, a carga total
dentro da superfície gaussiana é:
Passo 4
Vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total
através da superfície gaussiana é igual à carga encerrada dividida pela constante dielétrica do vácuo
:
O fluxo elétrico para uma superfície cilíndrica é dado por:
onde
é o módulo do campo elétrico na superfície gaussiana.
Passo 5
Igualando as duas expressões para o fluxo elétrico:
Agora, podemos resolver para
:
Como estamos interessados apenas no módulo do campo elétrico, ignoramos o sinal negativo (que indica a direção do campo):
Resposta
O módulo do campo el��trico na região
é dado por: