Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Justifique a sua escolha.
(i) ( ) O fluxo do campo magnético através de uma superfície qualquer é sempre nulo.
(ii) ( ) O fluxo do campo magnético através da superfície do hemisfério norte da Terra é igual, em módulo, ao fluxo do campo magnético através da superfície do hemisfério sul.
(iii) ( ) A lei de Ampère \oint_{C} \vec{B} \cdot d \vec{\ell}=\mu_{0} i_{i n t} só é válida para situações envolvendo correntes estacionárias.
(iv) ( ) A corrente elétrica que passa por um capacitor sendo carregado é estacionária.
(v) ( ) Uma partícula carregada que se move com velocidade constante é um exemplo de corrente estacionária.
(vi) ( ) A lei de Ampère afirma que o fluxo do campo magnético através de uma superfície \mathcal{S} é igual a \mu_{0} vezes a corrente que atravessa \mathcal{S}, isto é, \int_{\mathcal{S}} \mathbf{B} \cdot \hat{\mathbf{n}} d A=\mu_{0} i, onde i=\int_{\mathcal{S}} \mathbf{j} \cdot \hat{\mathbf{n}} d A.
(vii) ( ) Ao contrário da lei de Ampère, que só é válida em situações com simetria, a lei de Biot-Savart é sempre válida.
(viii) ( ) A lei de Ampère diz que, nas situações em que a corrente líquida envolvida por uma determinada curva fechada (amperiana) for nula, o campo magnético gerado por essa corrente também será nulo.
Considere que duas partículas carregadas de mesmo sinal se movem paralelamente com velocidades de módulo v \ll c na ausência de campo eletromagnético externo.
(ix) ( ) A força magnética entre essas partículas é atrativa.
(x) ( ) A força de Lorentz resultante entre essas duas partículas é sempre repulsiva.
Considere um fio cilíndrico de raio a que tranporta uma corrente estacionária uniformemente distribuída ao longo da sua seção reta.
(xi) ( ) O campo magnético a uma distância s do eixo do fio ( s<a ) se deve apenas à corrente líquida elétrica envolvida por uma amperiana circular de raio s.
(xii) ( ) Como este sistema possui simetria cilídrica, podemos afirmar que as compenentes do campo magnético gerado pelo fio são tais que B_{s}=B_{z}=0.
Passo 1
O enunciado pede que julguemos como verdadeiro ou falso uma lista de afirmações (itens (i) a (xii)) sobre campos magnéticos, lei de Ampère, lei de Biot–Savart, corrente estacionária e forças entre cargas em movimento. Também dá informações adicionais para alguns itens: duas partículas de mesmo sinal movem-se paralelamente com velocidade de módulo v\ll c; e há um fio cilíndrico de raio a com corrente estacionária uniformemente distribuída na seção reta. Essas informações devem ser usadas quando pedirem.
Lista das informações relevantes extraídas do enunciado:
Há afirmações sobre fluxo magnético por superfícies, semântica entre superfície aberta e fechada deve ser observada.
A lei de Ampère integral aparece no enunciado: \oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_{0} i_{int}.
O professor pede justificativas — portanto cada item precisa de argumento físico/matemático.
Para os itens (ix) e (x) usamos as duas partículas idênticas com velocidades paralelas v\ll c.
Para (xi) e (xii) temos um fio cilíndrico, corrente estacionária distribuída uniformemente na seção de raio a.
(A resolução começa de fato no Passo 2.)
Passo 2
Item (i): “O fluxo do campo magnético através de uma superfície qualquer é sempre nulo.”
Explicação didática: existe diferença crucial entre superfície aberta e superfície fechada. A lei que envolve fluxo de \mathbf{B} é a lei de Gauss para o magnetismo, que diz que a divergência do campo magnético é zero: \nabla\cdot\mathbf{B}=0. Em forma integral para uma superfície fechada \partial V (uma superfície que fecha um volume) temos
\oint_{\partial V}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=0.
Isto significa que o fluxo através de uma superfície fechada é sempre zero (não existem monopólos magnéticos). Porém para uma superfície aberta (por exemplo um disco plano no espaço), o fluxo pode ser qualquer valor, dependendo do campo \mathbf{B} que atravessa essa superfície. Um contraexemplo simples: campo magnético uniforme \mathbf{B}=B_0\hat{z} atravessando um disco de área A com normal \hat{z} tem fluxo \Phi=B_0 A\neq 0.
Conclusão para (i): a afirmação é falsa.
Passo 3
Item (ii): “O fluxo do campo magnético através da superfície do hemisfério norte da Terra é igual, em módulo, ao fluxo do campo magnético através da superfície do hemisfério sul.”
Explicação didática: considere a esfera que representa a Terra. A superfície do hemisfério norte (a parte curva) mais a superfície do hemisfério sul formam a superfície total da esfera, que é uma superfície fechada. Aplicando a lei de Gauss para o magnetismo à esfera inteira,
Escolhendo a orientação natural (vetor normal apontando para fora da esfera), o fluxo pela superfície norte \Phi_N somado ao fluxo pela superfície sul \Phi_S é zero: \Phi_N+\Phi_S=0. Daí segue \Phi_N=-\Phi_S, ou seja |\Phi_N|=|\Phi_S|. Observação sobre orientação: o enunciado perguntou “em módulo”, então a igualdade vale.
Conclusão para (ii): a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Item (iii): “A lei de Ampère \oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_{0} i_{int} só é válida para situações envolvendo correntes estacionárias.”
Explicação didática: a forma mostrada da lei de Ampère (sem termo de Maxwell) é a forma da magnetostática e só é consistente quando as correntes são estacionárias (correntes que não mudam no tempo e \partial\rho/\partial t=0). Se as correntes variam no tempo, a forma correta é a lei de Ampère–Maxwell, que inclui o termo de corrente de deslocamento:
onde \Phi_E=\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico através da superfície limitada por C. Portanto a versão sem correção é válida somente para correntes estacionárias; Maxwell corrigiu isso para torná‑la geral.
Conclusão para (iii): a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Item (iv): “A corrente elétrica que passa por um capacitor sendo carregado é estacionária.”
Explicação didática: ao carregar um capacitor, a corrente que passa pelos fios varia ao longo do tempo — é um processo transiente até atingir o estado final. Dentro do dielétrico entre as placas não há corrente de condução, mas existe corrente de deslocamento associada à variação do campo elétrico entre as placas. Corrente estacionária significa que a densidade de corrente \mathbf{j}(\mathbf{r},t) não depende do tempo; durante o carregamento isso não ocorre. Portanto a corrente que atravessa a região do capacitor enquanto carrega é não estacionária (tem componente de deslocamento e varia no tempo).
Conclusão para (iv): a afirmação é falsa.
Passo 6
Item (v): “Uma partícula carregada que se move com velocidade constante é um exemplo de corrente estacionária.”
Explicação didática: corrente estacionária refere‑se a uma distribuição de corrente que é independente do tempo em um referencial fixo, isto é \partial \mathbf{j}/\partial t=0. Para uma única carga q movendo‑se com velocidade constante \mathbf{v} a densidade de corrente é \mathbf{j}(\mathbf{r},t)=q\mathbf{v}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0-\mathbf{v}t), que depende explicitamente do tempo (a posição da carga muda). Portanto não é estacionária no referencial do laboratório. (No referencial que se move com a partícula ela é estática, mas a afirmação não especifica mudança de referencial e normalmente entende‑se o referencial de laboratório.)
Conclusão para (v): a afirmação é falsa.
Passo 7
Item (vi): “A lei de Ampère afirma que o fluxo do campo magnético através de uma superfície \mathcal{S} é igual a \mu_{0} vezes a corrente que atravessa \mathcal{S}, isto é, \int_{\mathcal{S}} \mathbf{B}\cdot \hat{\mathbf{n}}\, d A=\mu_{0} i, onde i=\int_{\mathcal{S}} \mathbf{j}\cdot \hat{\mathbf{n}}\, d A.”
Explicação didática: isto confunde fluxo de \mathbf{B} com circulação de \mathbf{B}. A lei de Ampère relaciona a circulação (integral de linha) de \mathbf{B} ao redor de uma curva fechada C com a corrente atravessando uma superfície cujo contorno é C:
Já a integral \int_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\cdot \hat{\mathbf{n}}\, dA é o fluxo de \mathbf{B} através de \mathcal{S}; a lei correta para o fluxo não é a equação dada (e, de fato, para uma superfície fechada o fluxo é zero). Então a afirmação escrita está errada: Ampère não afirma que fluxo de \mathbf{B} é \mu_0 vezes a corrente.
Conclusão para (vi): a afirmação é falsa.
Passo 8
Item (vii): “Ao contrário da lei de Ampère, que só é válida em situações com simetria, a lei de Biot–Savart é sempre válida.”
Explicação didática: cuidado com a palavra “sempre”. A lei de Biot–Savart fornece a expressão para \mathbf{B} em termos da distribuição de corrente estacionária:
ou, para filamentos, a expressão análoga com correntes I. Essa lei é válida no regime magnetostático (correntes estacionárias). A afirmação compara Ampère (que “só é válida em situações com simetria”) com Biot–Savart dizendo que esta seria “sempre válida”: na verdade Ampère sem correção é válida para correntes estacionárias e Biot–Savart também é válida para correntes estacionárias — nenhuma das duas é “sempre” válida em presença de variação temporal (para isso precisa‑se usar as equações completas de Maxwell e potenciais retardados). Ampère é frequentemente fácil de usar apenas em casos com simetria, mas a lei em si não é limitada só a esses casos (ela é uma igualdade; só que sua aplicação prática requer simetria para simplificar). Assim a afirmação, que coloca Biot–Savart como “sempre válida” e Ampère como “só válida com simetria”, é incorreta/enganosa.
Conclusão para (vii): a afirmação é falsa.
Passo 9
Item (viii): “A lei de Ampère diz que, nas situações em que a corrente líquida envolvida por uma determinada curva fechada (amperiana) for nula, o campo magnético gerado por essa corrente também será nulo.”
Explicação didática: Ampère (na forma integral) diz que a circulação ao longo de C é proporcional à corrente líquida atravessando a superfície limitada por C:
Se i_{enc}=0 então a circulação é zero, \oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=0. Mas circulação zero não implica campo magnético nulo ponto a ponto: pode haver \mathbf{B}\neq 0 com linhas de campo que entram e saem de C de modo que a integral de linha some. Um exemplo claro: duas correntes iguais e opostas situadas dentro da curva podem produzir um \mathbf{B} não nulo localmente, mas com corrente líquida fechada nula. Assim a afirmação é falsa.
Conclusão para (viii): a afirmação é falsa.
Passo 10
Considere agora as duas partículas carregadas de mesmo sinal movendo-se paralelamente com v\ll c.
Item (ix): “A força magnética entre essas partículas é atrativa.”
Explicação didática: duas cargas positivas movendo-se paralelamente com a mesma velocidade criam correntes paralelas de mesmo sentido. Em magnetostática, dois fios com correntes no mesmo sentido se atraem. Para as partículas puntiformes, aproximamos (válido para v\ll c) a força magnética que uma exerce sobre a outra: o campo magnético gerado por uma carga em baixa velocidade tem magnitude aproximada
B\sim\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q v}{r^2},
e a força magnética sobre a outra é F_m\sim q v B\sim (\mu_0/4\pi) q^2 v^2/r^2, direcionada tal que tende a atrair as trajetórias (para correntes paralelas o efeito magnético é de atração). Portanto a força magnética é atrativa.
Conclusão para (ix): a afirmação é verdadeira.
Passo 11
Item (x): “A força de Lorentz resultante entre essas duas partículas é sempre repulsiva.”
Explicação didática: a força total entre cargas em movimento é a soma da força elétrica (coulombiana) e da força magnética: \mathbf{F}=\mathbf{F}_E+\mathbf{F}_B. A força elétrica entre cargas de mesmo sinal é repulsiva, com magnitude
F_E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{r^2}.
A força magnética atrativa tem magnitude aproximadamente
F_B\sim\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q^2 v^2}{r^2}.
Usando \mu_0\varepsilon_0=\dfrac{1}{c^2} obtemos a razão
\frac{F_B}{F_E}\sim\frac{v^2}{c^2}.
Para qualquer velocidade física v<c temos F_B<F_E, então o termo elétrico domina e a força resultante é repulsiva. No caso do enunciado temos v\ll c, portanto sem dúvida a resultante é repulsiva. Observação relativística: no referencial das partículas a interação é puramente eletrostática repulsiva, e a transformação entre referenciais não inverte o sinal da força perpendicular — a força permanece repulsiva em qualquer referencial físico consistente. Assim, dentro do contexto (velocidades físicas v<c) a força resultante é repulsiva.
Conclusão para (x): a afirmação é verdadeira.
Passo 12
Agora o fio cilíndrico de raio a com corrente estacionária uniformemente distribuída na seção.
Item (xi): “O campo magnético a uma distância s do eixo do fio (s<a) se deve apenas à corrente líquida elétrica envolvida por uma amperiana circular de raio s.”
Explicação didática: para um fio com simetria cilíndrica e corrente estacionária uniformemente distribuída, podemos aplicar a lei de Ampère a uma amperiana circular de raio s coaxial com o fio. Por simetria o campo tem só componente azimutal e a integral de linha dá
B_\varphi(2\pi s)=\mu_0 I_{enc},
onde I_{enc} é a corrente total dentro do raio s. Portanto o campo em s depende apenas da corrente encerrada pela amperiana de raio s (correntes fora do raio s não contribuem para I_{enc}). Em termos físicos, embora todo o fio gere campo, a contribuição líquida que define o valor de B na amperiana é a corrente encerrada; o método de Ampère mostra que o valor resulta apenas de I_{enc}. (Isto é uma consequência da forma integral de Ampère e da simetria.)
Conclusão para (xi): a afirmação é verdadeira.
Passo 13
Item (xii): “Como este sistema possui simetria cilíndrica, podemos afirmar que as componentes do campo magnético gerado pelo fio são tais que B_{s}=B_{z}=0.”
Explicação didática: em coordenadas cilíndricas (s,\varphi,z) com eixo z ao longo do fio, a simetria de rotação e translação ao longo do eixo implica que o campo magnético só pode ter componente azimutal B_\varphi (pois qualquer componente radial B_s ou axial B_z violaria uma dessas simetrias). Assim B_s=0 e B_z=0, restando apenas B_\varphi (direção tangencial/circular, determinado pelo sentido da corrente via regra da mão direita). Portanto a afirmação é correta.
Conclusão para (xii): a afirmação é verdadeira.